Tìm tất cả các hàm số $f:Z\rightarrow Z$ thoả mãn điều kiện:
$f\left ( m+n \right ) + f\left ( mn-1 \right )=f(m)f(n)+2, \forall m,n\in \mathbb{Z}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haitienbg: 01-09-2013 - 14:44
$f\left ( m+n \right ) + f\left ( mn-1 \right )=f(m)f(n)+2$
Bắt đầu bởi haitienbg, 01-09-2013 - 14:33
#1
Đã gửi 01-09-2013 - 14:33
haitienbg
-
- Thành viên
-
- 124 Bài viết
Trung sĩ
#2
Đã gửi 01-09-2013 - 20:27
IloveMaths
-
- Thành viên
-
- 171 Bài viết
Trung sĩ
Tìm tất cả các hàm số $f:Z\rightarrow Z$ thoả mãn điều kiện:
$f\left ( m+n \right ) + f\left ( mn-1 \right )=f(m)f(n)+2, \forall m,n\in \mathbb{Z}$
Mình nêu hướng giải thôi
Cho m=0;n=-1 sau đó biến đổi tính được ( nhớ điều kiên là f thuộc Z)
f(-1)=2 ; f(0)=1
Sau đó quy nạp $f(n)=n^2+1$
Dịp may chỉ mách bảo một trí tuệ chuyên cần
#3
Đã gửi 01-09-2013 - 22:42
haitienbg
-
- Thành viên
-
- 124 Bài viết
Trung sĩ
Cho m=0;n=-1 sau đó biến đổi tính được ( nhớ điều kiên là f thuộc Z)
f(-1)=2 ; f(0)=1
Sau đó quy nạp $f(n)=n^2+1$
Bạn giải chi tiết hơn được không! Hình như $m,n\in \mathbb{Z}$ không quy nạp được!!!!!! 
......Không có việc gì là không thể.........
= ====== NVT ====== =
#4
Đã gửi 02-09-2013 - 07:02
IloveMaths
-
- Thành viên
-
- 171 Bài viết
Trung sĩ
Cho m=0 ; n=-1 suy ra f(0)= 1 và f(-1) = 2
Từ đó , cho m=n=1 suy ra f(-2)=5
Tiếp tục cho m= -1 ; n= 1 suy ra f(1)=2
Ta quy nạp : $\forall n\epsilon N$
f(n)=$n^2+1$
f(0)=1 ; f(1)= 2
giả sử $f(n)=n^2+1 ; f(n+1)=(n+1)^2+1$
Ta Chứng minh $f(n+2)$=$(n+2)^2+1$
Cho m= 1 , thay n bằng n+1
$f(n+2)+f(n)=f(n+1).f(1)+2\Rightarrow f(n+2)=(n+2)^2+1$
Vậy $\forall n\epsilon N$
f(n)=$n^2+1$
Tương tự quy nạp $f(-n)=(-n)^2+1$ và $f(-n)=(-n)^2+1\forall n\epsilon N^{*}$
( sử dụng $m=1$ và thay n bằng -n-1)
Vậy $f(n)=n^2+1\forall n\epsilon Z$
Thử lại thấy thỏa mãn
- deathavailable, haitienbg và Haduyduc thích
Dịp may chỉ mách bảo một trí tuệ chuyên cần
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
