Tìm nghiệm nguyên phương trình: $x^3+10x-1=y^3+6y^2$
Tìm nghiệm nguyên phương trình: $x^3+10x-1=y^3+6y^2$
Bắt đầu bởi vitconvuitinh, 01-09-2013 - 16:41
#2
Đã gửi 01-09-2013 - 20:19
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Tìm nghiệm nguyên phương trình: $x^3+10x-1=y^3+6y^2 \qquad (1)$
Lời giải. Đặt $x=y+b$ với $b \in \mathbb{Z}$. Ta có $$\begin{aligned} (1) & \Leftrightarrow y^3+3y^2b+3yb^2+b^3+10y+10b-1=y^3+6y^2 \\ & \Leftrightarrow y^2(3b-6)+y(3b^2+10)+b^3+10b-1=0 \qquad (1) \\ \Delta & = (3b^2+10)^2-(12b-24)(b^3+10b-1) \ge 0 \\ & = -3b^4+24b^3-60b^2+252b+76 \\ & = 1399-3(b^2-4b)^2-3(2b-21)^2 \ge 0 \end{aligned}$$
Do đó $(b^2-4b)^2+(2b-21)^2 \le 466$.
Nhận thấy $(2b-21)^2 \le 466$ nên $0 \le b \le 21$.
Nhận thấy theo phương trình ban đầu thì $x,y$ khác tính chẵn lẻ nên $b$ lẻ.
Nếu $b=1$ thì $(1) \Leftrightarrow -3y^2+13y+10=0 \Leftrightarrow y=5 \Rightarrow x=6$.
Nếu $b=3$ thì $(1) \Leftrightarrow 3y^2+37y+56=0$, không có nghiệm nguyên.
Nếu $b=5$ thì $(1) \Leftrightarrow 9y^2+85y+174=0 \Leftrightarrow y=-3$. Khi đó $x=2$.
Nếu $b=7$ thì $(1) \Leftrightarrow 15y^2+157y+412=0$, vô nghiệm.
Nếu $b=11$ thì $(1) \Leftrightarrow 27y^2+373y+1440=0$, vô nghiệm.
Nếu $b=13$ thì $(1) \Leftrightarrow 33y^2+517y+2326=0$, vô nghiệm.
Nếu $b=15$ thì $(1) \Leftrightarrow 39y^2+685y+3524=0$, vô nghiệm.
Nếu $b=17$ thì $(1) \Leftrightarrow 45y^2+877y+5082=0$, vô nghiệm.
Nếu $b=19$ thì $(1) \Leftrightarrow 51y^2+1093y+7048=0$, vô nghiệm.
Nếu $b=21$ thì $(1) \Leftrightarrow 57y^2+442y+9470=0$, vô nghiệm.
Vậy phương trình có nghiệm nguyên $\boxed{(x,y)=(6,5),(2,-3)}$.
- caybutbixanh, nguyencuong123, phatthemkem và 3 người khác yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
