Chủ đề này có 13 trả lời

[thuan192]

Bài 1: Cho số nguyên dương n>1 thỏa mãn  $3^{n}-1$         chia hết cho n .Chứng minh rằng n là số chẵn

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 03-09-2013 - 14:08

[Zaraki]

Bài 1: Cho số nguyên dương n>1 thỏa mãn  $3^{n}-1$         chia hết cho n .Chứng minh rằng n là số chẵn

Lời giải. Gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$, ta có $3^n \equiv 1 \pmod{p}$. Cũng có $3^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$. Gọi $k$ là số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn $3^k \equiv 1 \pmod{p}$. Vậy $k|p-1$ và $k|n$.

Nếu $k,n$ có cùng ước nguyên tố $r$ thì $r|k$ nên $k>r$ mà $k|p-1$ nên $p>k$, vậy $p>r$, mâu thuẫn điều kiện $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$. Do đó $\gcd (k,n)=1$. Tuy ra $k=1$ hay $p|3^1-1=2$. Vậy $p=2$ nên $2|n$.

[LNH]

Bài 1: Cho số nguyên dương n>1 thỏa mãn  $3^{n}-1$         chia hết cho n .Chứng minh rằng n là số chẵn

 

Gs $x$ lẻ. Gọi ước nguyên tố nhỏ nhất là $p$. Đặt $x=p^ak$

Ta có $3^{x}\equiv 3^k \left ( modp \right )$

Mà $3^{p-1}\equiv 1 \left ( modp \right )$

Vậy muốn $3^{k}\equiv 1 \left ( modp \right )$ thì $gcd\left ( k,p-1 \right )>1$(vô lí)

Vậy với $x$ lẻ thì $\frac{3^x-1}{x}$ không nguyên

 

Bài này chỉ là một bổ đề cho một bài toán "không dễ" sau:

http://diendantoanho...ên-dương-3xxy1/

Giải phương trình nghiệm nguyên dương $3^x=xy+1$

Đến bây giờ vẫn chưa ai giải được bài toán trên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 03-09-2013 - 14:37

[Juliel]

Lời giải. Gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$, ta có $3^n \equiv 1 \pmod{p}$. Cũng có $3^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$. Gọi $k$ là số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn $3^k \equiv 1 \pmod{p}$. Vậy $k|p-1$ và $k|n$.

Nếu $k,n$ có cùng ước nguyên tố $r$ thì $r|k$ nên $k>r$ mà $k|p-1$ nên $p>k$, vậy $p>r$, mâu thuẫn điều kiện $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$. Do đó $\gcd (k,n)=1$. Tuy ra $k=1$ hay $p|3^1-1=2$. Vậy $p=2$ nên $2|n$.

Chỗ chứng minh $k=1$ có thể làm cách khác như sau :

Gọi $k$ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn $3^{k}\equiv 1(modp)$. Mà ta đã có $3^{n}\equiv 3^{p-1}\equiv 1(modp)$.

Suy ra $k|n,k|p-1$, do đó $k<p-1$. Nếu $k>1$ thì $1<k<p$, mà $k$ là ước của $n$ nên $x$ tồn tại một ước khác nhỏ hơn $p$. Mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của $p$. Do đó $k=1$. Từ đó $2|n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 03-09-2013 - 14:41

[Zaraki]

 

 

Bài này chỉ là một bổ đề cho một bài toán "không dễ" sau:

http://diendantoanho...ên-dương-3xxy1/

Đến bây giờ vẫn chưa ai giải được bài toán trên

 

Em nghĩ là đã giải được rồi chớ! Phương trình có vô số nghiệm nguyên.

[LNH]

Em nghĩ là đã giải được rồi chớ! Phương trình có vô số nghiệm nguyên.

Đó chỉ là CM vô số nghiệm thôi, bài toán gốc là tìm tất cả các nghiệm nguyên dương mà

[thuan192]

Bài 2 :Cho p là số nguyên tố ,p>3; $n=\frac{2^{2p}-1}{3}$ .CMR      $2^{n}-2$ chia hết cho n

[Zaraki]

Bài 2 :Cho p là số nguyên tố ,p>3; $n=\frac{2^{2p}-1}{3}$ .CMR      $2^{n}-2$ chia hết cho n

Lời giải. Ta có bổ đề: Nếu $a,b \in \mathbb{N}^*$ mà $b|a$ thì $n^b-1|n^a-1$. Chứng minh bổ đề thì ta đặt $a=bk$ với $k \in \mathbb{N}^*$.

Ta sẽ đi chứng minh $2p| \frac{2^{2p}-4}{3}$. Thật vậy, vì $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $p$ lẻ. Do đó theo định lý Fermat nhỏ thì $4^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \Rightarrow 2^{2p} \equiv 4 \pmod{p}$. Ta cũng có $2|2^{2p}-4$ nên $2p|2^{2p}-4$. Vì $3 \nmid 2p$ và $3|2^{2p}-4$ nên $2p| \frac{2^{2p}-4}{3}$.

Do đó theo bổ đề thì $2^{2p}-1| 2^{ \frac{2^{2p}-4}{3}}-1$ nên $\frac{2^{2p}-1}{3}| 2^{ \frac{2^{2p}-1}{3}}-2$.

Ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 03-09-2013 - 17:42

[Zaraki]

Độ khó bài toán sẽ được tăng lên nếu đổi câu hỏi thành: Chứng minh tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ thoả mãn $n|2^n-2$. 

Ta cùng thử đi tìm dạng khác của $n$ thoả mãn $n|2^n-2$ đi 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 03-09-2013 - 17:57

[LNH]

Độ khó bài toán sẽ được tăng lên nếu đổi câu hỏi thành: Chứng minh tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ thoả mãn $n|2^n-2$. 

Ta cùng thử đi tìm dạng khác của $n$ thoả mãn $n|2^n-2$ đi 

Một bài toán được nâng cấp lên rất hay!

Ta chỉ cần đặt $n=\frac{2^{2p}-1}{3}$, vì có vô hạn số nguyên tố nên có vô hạn $n$ thoả mãn yêu cầu đề bài. Suy ra đpcm.

[thuan192]

Một bài toán được nâng cấp lên rất hay!

Ta chỉ cần đặt $n=\frac{2^{2p}-1}{3}$, vì có vô hạn số nguyên tố nên có vô hạn $n$ thoả mãn yêu cầu đề bài. Suy ra đpcm.

Chúng ta có cách giải nào tự nhiên hơn không .Nếu như chưa biết kết quả trên.

[AnnieSally]

Chúng ta có cách giải nào tự nhiên hơn không .Nếu như chưa biết kết quả trên.

Các bài toán chứng minh có vô số nghiệm nguyên thường cho kết quả rất thiếu tự nhiên. Đằng sau những lời giải ấy là các bài toán nhỏ được xem là một bổ đề như trên, và muốn xây dựng nghiệm thì phải...làm thật nhiều bài toán

P/s: I'm lenhathoang1998

[thuan192]

Vậy thì chúng ta đến bài tiếp theo

Bài 3: Giả sử x và n là các số tự nhiên sao cho mọi ước nguyên tố của x đều không vượt quá n .CMR nếu $n^{2}\geq 4x$ thì n! chia hết cho x

[Zaraki]

Độ khó bài toán sẽ được tăng lên nếu đổi câu hỏi thành: Chứng minh tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ thoả mãn $n|2^n-2$. 

Ta cùng thử đi tìm dạng khác của $n$ thoả mãn $n|2^n-2$ đi 

Xin lỗi mọi người, cái này em viết có hơi ngớ ngẩn... Với mọi $n$ nguyên tố đều thỏa mãn. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 03-09-2013 - 21:27