Chủ đề này có 3 trả lời

[Ispectorgadget]

Đặt $2n$ quân cờ trên một một bàng cơ vua $n\times n$ ( một quân đặt trong một ô vuông). Chứng minh rằng tồn tại $4$ quân cờ tạo thành $4$ đỉnh của một hình bình hành. Nếu thay $2n$ thành $2n-1$ thì kết quả bài toán còn đúng không?

 

[HeilHitler]

Đặt $2n$ quân cờ trên một một bàng cơ vua $n\times n$ ( một quân đặt trong một ô vuông). Chứng minh rằng tồn tại $4$ quân cờ tạo thành $4$ đỉnh của một hình bình hành. Nếu thay $2n$ thành $2n-1$ thì kết quả bài toán còn đúng không?

Pé đánh số các ô của bàn cờ bằng các chữ số $A=${$1,2,3,....,n^2$} theo chiều từ trái sang phải, và đánh hết các hàng trên thì chuyển xuống các hàng dưới. Pé thấy rằng $4$ ô chứa $4$ số $a,b,c,d$ trong tập trên sẽ tạo thành một hình bình hành nếu $a+b=c+d$.

Như vậy, xét một tập con tùy ý $X$ gồm $2n+1$ phần tử chọn được ra từ tập $A$, tập con này sẽ có $C_{2n+1}^{2}$ tổng tạo bởi mỗi $2$ phần tử của $X$. Tuy nhiên các tổng này chỉ có thể nhận các giá trị trong đoạn $[3,2n^2-1]$, thành ra theo nguyên lý Dirichlet, do $\frac{C_{2n+1}^{2}}{2n^2-3}>1$ nên sẽ có ít nhất $2$ tổng bằng nhau, gọi đó là $x+y=z+t$, thì $xyzt$ tạo thành một hình bình hành. 
PS: Trường hợp $2n$ thì anh nghĩ không tồn tại pé ạ, có lẽ sẽ chỉ được phản ví dụ, khoản chừng $n=6$ trở đi là chọn được phản ví dụ.

[quocbaolqd11]

Pé đánh số các ô của bàn cờ bằng các chữ số $A=${$1,2,3,....,n^2$} theo chiều từ trái sang phải, và đánh hết các hàng trên thì chuyển xuống các hàng dưới. Pé thấy rằng $4$ ô chứa $4$ số $a,b,c,d$ trong tập trên sẽ tạo thành một hình bình hành nếu $a+b=c+d$.

Như vậy, xét một tập con tùy ý $X$ gồm $2n+1$ phần tử chọn được ra từ tập $A$, tập con này sẽ có $C_{2n+1}^{2}$ tổng tạo bởi mỗi $2$ phần tử của $X$. Tuy nhiên các tổng này chỉ có thể nhận các giá trị trong đoạn $[3,2n^2-1]$, thành ra theo nguyên lý Dirichlet, do $\frac{C_{2n+1}^{2}}{2n^2-3}>1$ nên sẽ có ít nhất $2$ tổng bằng nhau, gọi đó là $x+y=z+t$, thì $xyzt$ tạo thành một hình bình hành. 
PS: Trường hợp $2n$ thì anh nghĩ không tồn tại pé ạ, có lẽ sẽ chỉ được phản ví dụ, khoản chừng $n=6$ trở đi là chọn được phản ví dụ.

chỗ tô đỏ chưa chính xác. VÍ dụ như bảng $3 \times 3$ có 11=2+9=4+7 nên các vị trí ở các ô 2,4,7,9 tạo thành bình hành ?????

Lời giải:

đặt bảng này lên trên trục tọa độ sao cho các điểm ở chính giữa mỗi ô vuông đơn vị là điểm có tọa độ nguyên, ô nằm ở hàng thứ $n$ cột thứ 1 là gốc tọa độ, ô nằm ở cột thứ $n$ hàng thứ 1 có tọa độ $(n-1,n-1)$. Xét 4 điểm $A(a_1,b_1), B(a_2,b_2), C(a_3,b_3), D(a_4,b_4)$ khi đó, các ô này lập thành 1 hình bình hành khi $\vec{AB}=\vec{CD}$ hay $a_2-a_1=a_4-a_3, b_2-b_1=b_4-b_3$.

với $2n$ điểm trên mặt phẳng, ta có $2C_{2n}^{2}=2n(2n-1)$ vec tơ nên khi đó có $2n(2n-1)$ hiệu $a_i-a_j (1 \le i,j \le 2n)$

vì các giá trị của $a_i$ nằm trong khoảng $[0,n-1]$ nên có thể tạo ra $2n$ hiệu khác nhau. Theo nguyên lí đi-rích-lê thì có $[\frac{2n(2n-1)}{2(n-1)}]+1 > 2n$ hiệu bằng nhau. Xét số véc tơ có hoành độ bằng nhau đó, các tung độ của nó cũng nhận các giá trị $[0,n-1]$ nên có $2n$ giá trị cho các tung độ này. Vậy theo nguyên lí đi-rích-lê sẽ có ít nhất 2 tung độ bằng nhau, từ đấy ta luôn tìm được 2 véc-tơ có tung độ và hoàng độ bằng nhau nên ta có đpcm. CÒn TH $2n-1$ thì ta có thể tìm phản ví dụ khi cho $n$ điểm cùng nằm trên hàng đầu tiên và $n$ điểm đó nằm ở $n$ ô khác nhau của hàng đó, $n-1$ điểm còn lại thì ta xếp thành một đường chéo của bảng $n \times n$.

[HeilHitler]

chỗ tô đỏ chưa chính xác. VÍ dụ như bảng $3 \times 3$ có 11=2+9=4+7 nên các vị trí ở các ô 2,4,7,9 tạo thành bình hành ?????

Lời giải:

đặt bảng này lên trên trục tọa độ sao cho các điểm ở chính giữa mỗi ô vuông đơn vị là điểm có tọa độ nguyên, ô nằm ở hàng thứ $n$ cột thứ 1 là gốc tọa độ, ô nằm ở cột thứ $n$ hàng thứ 1 có tọa độ $(n-1,n-1)$. Xét 4 điểm $A(a_1,b_1), B(a_2,b_2), C(a_3,b_3), D(a_4,b_4)$ khi đó, các ô này lập thành 1 hình bình hành khi $\vec{AB}=\vec{CD}$ hay $a_2-a_1=a_4-a_3, b_2-b_1=b_4-b_3$.

với $2n$ điểm trên mặt phẳng, ta có $2C_{2n}^{2}=2n(2n-1)$ vec tơ nên khi đó có $2n(2n-1)$ hiệu $a_i-a_j (1 \le i,j \le 2n)$

vì các giá trị của $a_i$ nằm trong khoảng $[0,n-1]$ nên có thể tạo ra $2n$ hiệu khác nhau. Theo nguyên lí đi-rích-lê thì có $[\frac{2n(2n-1)}{2(n-1)}]+1 > 2n$ hiệu bằng nhau. Xét số véc tơ có hoành độ bằng nhau đó, các tung độ của nó cũng nhận các giá trị $[0,n-1]$ nên có $2n$ giá trị cho các tung độ này. Vậy theo nguyên lí đi-rích-lê sẽ có ít nhất 2 tung độ bằng nhau, từ đấy ta luôn tìm được 2 véc-tơ có tung độ và hoàng độ bằng nhau nên ta có đpcm. CÒn TH $2n-1$ thì ta có thể tìm phản ví dụ khi cho $n$ điểm cùng nằm trên hàng đầu tiên và $n$ điểm đó nằm ở $n$ ô khác nhau của hàng đó, $n-1$ điểm còn lại thì ta xếp thành một đường chéo của bảng $n \times n$.

Đúng là có sai sót thật, lúc đó mình mới vẽ ra vài trường hợp đã vội quy nạp nên xảy ra sai sót như vậy. Thành thật sorry và thanks bạn đã chỉ ra sai sót.