Chủ đề này có 4 trả lời

[nhox sock tn]

Cho x,y,z>0 và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$. Chứng minh $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 06-09-2013 - 17:20

[canhhoang30011999]

Cho x,y,z>0 và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$. Chứng minh $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

$\frac{16}{2x+y+z}\leq \frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$

$\Rightarrow 16VT\leq 4\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )$$\Rightarrow VT\leq 1$

dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z= \frac{3}{4}$

[Vu Thuy Linh]

Cho x,y,z>0 và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4$. Chứng minh $\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\leq 1$

$\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{(x+y)+(x+z)}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z})\leq \frac{1}{16}(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

CMTT

=> VT$\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=1$=>đpcm

[khanh2711999]

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{16}{2x+y+z}$ ( hệ quả của BĐT Cô-Si)

tương tự

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{16}{x+2y+z}$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{16}{x+y+2z}$

$\Rightarrow$ $\frac{16}{2x+y+z}+\frac{16}{x+2y+z}+\frac{16}{x+y+2z}\leqslant 16$

 

$\Rightarrow đpcm$$\Rightarrow đpcm$

[nghiemthanhbach]

Áp dụng bđt dạng: $\sum_{i=1}^{m (m>2)} \frac{1}{a_{i}}\geq \frac{m^2}{\sum a_{i}}$

ghi sai chỗ nào thì ai đó chỉnh giùm nha ^^