Chủ đề này có 11 trả lời

[Alexman113]

Cho $a,\,b,\,c>0.$ Chứng minh rằng: $$\dfrac{a^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ac}+\dfrac{c^3}{ab}\geq a+b+c$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexman113: 08-09-2013 - 10:54

[Hoang Nhat Tung]

Áp dụng bđt cosi ta có :$\frac{a^3}{bc} + b+c \geq 3.a,\frac{b^3}{ac}+a+c \geq 3b,\frac{c^3}{ab}+a+b\geq 3c.$.Cộng theo vế suy ra $\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ac}+\frac{c^3}{ab} \geq a+b+c$ .Dấu = xảy ra khi a=b=c

[hippotas]

Áp dụng bdt cauchy cho 3 số 

$\frac{a^{3}}{bc} + b +c \geqslant 3a$
làm tương tự vs 2 cái còn lại ta có đpcm
à mà đề bài phải là $\frac{a^{3}}{bc}  chứ @@

[letankhang]

Cho $a,\,b,\,c>0.$ Chứng minh rằng: $$\dfrac{c^3}{bc}+\dfrac{b^3}{ac}+\dfrac{c^3}{ab}\geq a+b+c$$

Ta có :

$\frac{a^{3}}{bc}+\frac{b^{3}}{ac}+\frac{c^{3}}{ab}=\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{abc}\geq \frac{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{abc}\geq \frac{ab^{2}c+bc^{2}a+ba^{2}c}{abc}=a+b+c$

[Alexman113]

Áp dụng bđt cosi ta có :$\frac{a^3}{bc} + b+c \geq 3.a,\frac{b^3}{ac}+a+c \geq 3b,\frac{c^3}{ab}+a+b\geq 3c.$.Cộng theo vế suy ra $\frac{a^3}{bc}+\frac{b^3}{ac}+\frac{c^3}{ab} \geq a+b+c$ .Dấu = xảy ra khi a=b=c

 

Áp dụng bdt cauchy cho 3 số 

$\frac{a^{3}}{bc} + b +c \geqslant 3a$
làm tương tự vs 2 cái còn lại ta có đpcm
à mà đề bài phải là $\frac{a^{3}}{bc}  chứ @@

Cho em hỏi mấu chốt chỗ nào mình biết ghép cặp với $b,\,c$ để áp dụng bất đẳng thức vậy ạ, có thể nói rõ ý tưởng cho em biết không ạ? Em  cảm ơn.

[Alexman113]

Ta có :

$\frac{a^{3}}{bc}+\frac{b^{3}}{ac}+\frac{c^{3}}{ab}=\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{abc}\geq \frac{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{abc}\geq \frac{ab^{2}c+bc^{2}a+ba^{2}c}{abc}=a+b+c$

Anh ơi anh áp dụng bất đẳng thức gì trên tử vậy ạ, có phải là giồng với $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ không ạ, mà BĐT anh dùng chứng minh thế nào vậy ạ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Alexman113: 08-09-2013 - 11:00

[letankhang]

Anh ơi anh áp dụng bất đẳng thức gì trên tử vậy ạ, có phải là giồng với $a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$ không ạ, mà BĐT anh dùng chứng minh thế nào vậy ạ?

Ừ đúng rồi đó bạn ta dùng BĐT : $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq a+b+c$

Chứng minh BĐT này thì dễ rồi biến đổi tương đương là ra à bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 08-09-2013 - 11:03

[Alexman113]

Ta có :

$\frac{a^{3}}{bc}+\frac{b^{3}}{ac}+\frac{c^{3}}{ab}=\frac{a^{4}+b^{4}+c^{4}}{abc}\geq \frac{a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{abc}\geq \frac{ab^{2}c+bc^{2}a+ba^{2}c}{abc}=a+b+c$

Còn cái BĐT cuối là áp dụng BĐT gì vậy ạ?

[letankhang]

Còn cái BĐT cuối là áp dụng BĐT gì vậy ạ?

Ý bạn là : $$\Rightarrow a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}=(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ac)^{2}\geq ab^{2}c+bc^{2}a+ca^{2}b=abc(a+b+c)$$

Áp dụng BĐT $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+yz+zx$ ta được như trên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 08-09-2013 - 11:16

[Alexman113]

Ý bạn là : $$\Rightarrow a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2}=(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ac)^{2}\geq ab^{2}c+bc^{2}a+ca^{2}b=abc(a+b+c)$$

Áp dụng BĐT $x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq xy+yz+zx$ ta được như trên

Anh có thể giải thích ý tưởng bài làm của hai thành viên khác ở trên giúp em không ạ, sao mình biết ghép cặp với $b,\,c$ để dùng BĐT ạ? Sao không phải là sô khác ạ, theo em biết sơ đề bài là BĐT đồng bậc phải không ạ, bậc nó là bậc 1 thì 1 số $a$ cũng là bậc 1, một số tự do cũng là bậc 1, $\dfrac{a^2}{B}$ CŨNG LÀ BẬC 1, Ý EM LÀ NHIỀU BẬC 1 SAO MÌNH BIẾT MÀ CHỌN ĐƯỢC CÁI BẬC 1 PHÙ HỢP LÀ $a+b$ mà không phải cái khác ạ

[letankhang]

Anh có thể giải thích ý tưởng bài làm của hai thành viên khác ở trên giúp em không ạ, sao mình biết ghép cặp với $b,\,c$ để dùng BĐT ạ? Sao không phải là sô khác ạ, theo em biết sơ đề bài là BĐT đồng bậc phải không ạ, bậc nó là bậc 1 thì 1 số $a$ cũng là bậc 1, một số tự do cũng là bậc 1, $\dfrac{a^2}{B}$ CŨNG LÀ BẬC 1, Ý EM LÀ NHIỀU BẬC 1 SAO MÌNH BIẾT MÀ CHỌN ĐƯỢC CÁI BẬC 1 PHÙ HỢP LÀ $a+b$ mà không phải cái khác ạ

Cái đó là phương pháp chọn điểm rơi bằng BĐT AM-GM; mình cũng không rành phần này lắm đâu

[deathavailable]

Anh có thể giải thích ý tưởng bài làm của hai thành viên khác ở trên giúp em không ạ, sao mình biết ghép cặp với $b,\,c$ để dùng BĐT ạ? Sao không phải là sô khác ạ, theo em biết sơ đề bài là BĐT đồng bậc phải không ạ, bậc nó là bậc 1 thì 1 số $a$ cũng là bậc 1, một số tự do cũng là bậc 1, $\dfrac{a^2}{B}$ CŨNG LÀ BẬC 1, Ý EM LÀ NHIỀU BẬC 1 SAO MÌNH BIẾT MÀ CHỌN ĐƯỢC CÁI BẬC 1 PHÙ HỢP LÀ $a+b$ mà không phải cái khác ạ

Nhận thấy hệ số của tử số là các hệ số bậc 3 nên có ý tưởng cho việc Dùng BĐT AM-GM cho 3 số, để triệt tiêu mẫu số thì ta chọn lần lượt các hệ số như trên