Chủ đề này có 1 trả lời

[Alexman113]

Cho các số thưc $x,\,y$ thỏa $x+y+\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{xy-x-y+1}=4.$ Tìm giái trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của:$$P=x+y+\sqrt{xy-x-y+1}$$

 

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

ĐK: $x \geq 1$ và $y \geq 1$

Đặt $\sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1} = a \geq 0\Rightarrow a^2 = x + y - 2\sqrt{xy - x - y + 1}$

Từ giả thiết, ta có:

$\left ( \sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1}\right )^2 + \sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1} = 2 + \sqrt{(x - 1)(y - 1)} \geq 2$

 

Áp dụng BĐT: $\sqrt{(x - 1)(y - 1)} \leq \dfrac{(\sqrt{x - 1} + \sqrt{y - 1})^2}{4} = \dfrac{a^2}{4}$

 

$\Rightarrow 2 \leq a^2 + a \leq 2 + \dfrac{a^2}{4} \Leftrightarrow 1 \leq a \leq \dfrac{2\sqrt{7} - 2}{3}$ (Do $a \geq 0$ )

 

Ta có: $P = 4 - a \geq 4 - \dfrac{2\sqrt{7} - 2}{3}  = \dfrac{14 - 2\sqrt{7}}{3}$

Ta lại có: $P = 4 - a \leq 4 - 1 = 3$

 

Vậy $Min_P = \dfrac{14 - 2\sqrt{7}}{3}$. Dấu “=” xảy ra khi $x = y = \dfrac{17 - 2\sqrt{7}}{9}$

Và $Max_P = 3$ khi $x = 2; y = 1$ và ngược lại.