cho $(u_{n})$ biết $\left\{\begin{matrix} u_{1}=1\\ u_{n+1}=\frac{u_{n}}{2+u_{n}} \end{matrix}\right.$
cmr: $u_{n}<\frac{1}{n}$
#1
Đã gửi 08-09-2013 - 14:12
yeumontoan
-
- Thành viên
-
- 66 Bài viết
Hạ sĩ
TOÁN HỌC LÀ CƠ SỞ CỦA MỌI NGÀNH KHOA HỌC.
#2
Đã gửi 08-09-2013 - 16:24
IloveMaths
-
- Thành viên
-
- 171 Bài viết
Trung sĩ
cho $(u_{n})$ biết $\left\{\begin{matrix} u_{1}=1\\ u_{n+1}=\frac{u_{n}}{2+u_{n}} \end{matrix}\right.$
cmr: $u_{n}<\frac{1}{n}$
Đặt $\frac{1}{u_{n}}=v_{n}\Rightarrow v_{n+1}=v_{n}+2$
Tiếp tục đặt $x_{n}=v_{n}-1\Rightarrow x_{n+1}=2x_{n}$
$\Rightarrow x_{n+1}=2.x_{n}=2^2.x_{n-1}=...=2^n.x_{1}=2^n.(v_{1}+1)=2^n.(\frac{1}{u_{1}}+1)=2^{n+1}\Rightarrow x_{n}=2^n\Rightarrow u_{n}=\frac{1}{2^n-1}$
Bây giờ ta so sánh :
$\frac{1}{2^n-1}<\frac{1}{n}\Leftrightarrow n<2^n-1$
Đến đây thì dễ dàng chứng minh rồi
Dịp may chỉ mách bảo một trí tuệ chuyên cần
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
