Chủ đề này có 1 trả lời

[AzAZ09]

Giải phương trình nghiệm nguyên :

$a^{2}+7b^{2}=3c^{2}+2cd+5d^{2}$

Mod. Chú ý tiêu đề.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 12-09-2013 - 22:03

[quocbaolqd11]

câu này là đề chọn đội tuyển của KHTN, lời giải:

 $3a^2+21b^2=(3c+d)^2+14d^2 \Leftrightarrow 3a^2-x^2=7(2d^2-3b^2)$, $x=3c+d$.
Do một scp chia 7 chỉ có thể nhận dư thuộc ${0;1;2;4}$ mà $3a^2-x^2 \vdots 7$ nên $7|a; 7|x$.
Suy ra $2d^2-3b^2 \vdots 7$, tương tự có $7|d, 7|b$.
Giả sử pt có nghiệm $(a,b,x,d)$ khác $(0,0,0,0)$.
Đặt $a_1, b_1, x_1, d_1$ là nghiệm có $|a_1|+...+|d_1| min$
Tương tự ta có $7|a_1;...;7|d_1$ hay $a_2=\frac{a_1}{7},..., d_2=\frac{d_1}{7}$ cũng là nghiệm của pt, mà $|a_2|+...+|d_2| < |a_1|+...+|d_1|$, vô lí
Vậy pt chỉ có nghiệm $a=b=c=d=0$.

Lời giải này của anh Phạm TUấn Huy 12 toán ptnk .