tìm số tự nhiên n để $3^{n}+1$ là số chính phương
tìm số tự nhiên n để $3^{n}+1$ là số chính phương
Bắt đầu bởi tranducmanh2308, 13-09-2013 - 21:45
#1
Đã gửi 13-09-2013 - 21:45
tranducmanh2308
-
- Thành viên
-
- 79 Bài viết
Hạ sĩ
- Zaraki, nguyentrungphuc26041999 và Math is my life thích
ĐÚNG THÌ LIKE 
SAI THÌ SỬA (SAI VẪN LIKE) 
@@@
#2
Đã gửi 13-09-2013 - 22:12
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
tìm số tự nhiên n để $3^{n}+1$ là số chính phương
Lời giải. Đặt $3^n+1=a^2 \; (a \in \mathbb{N}^*)$. Khi đó $(a-1)(a+1)=3^n$. Vì $\gcd (a-1,a+1)=1$ nên $a-1=1,a+1=3^n$. Vậy $ \boxed{n=1}$. $\blacksquare$
- Trang Luong, nguyentrungphuc26041999, Tran Nguyen Lan 1107 và 1 người khác yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Đã gửi 13-09-2013 - 22:15
Trang Luong
-
- Thành viên
-
- 1834 Bài viết
Đại úy
Lời giải. Đặt $3^n+1=a^2 \; (a \in \mathbb{N}^*)$. Khi đó $(a-1)(a+1)=3^n$. Vì $\gcd (a-1,a+1)=1$ nên $a-1=1,a+1=3^n$. Vậy $ \boxed{n=1}$. $\blacksquare$
Toàn có thể giải thích hộ mình chỗ này đc ko. Tại sao suy ra luôn được $a-1=1,a+1=3^n$
- nguyentrungphuc26041999, S2Taphuongmai, Best Friend và 1 người khác yêu thích
"Nếu bạn hỏi một người giỏi trượt băng làm sao để thành công, anh ta sẽ nói với bạn: ngã, đứng dậy là thành công"
Issac Newton
Issac Newton
#4
Đã gửi 13-09-2013 - 22:17
nguyentrungphuc26041999
-
- Thành viên
-
- 406 Bài viết
Sĩ quan
tìm số tự nhiên n để $3^{n}+1$ là số chính phương
đặt $3^{n}+1= k^{2}$
$\Rightarrow 3^{n}=\left ( k-1 \right )\left ( k+1 \right )$
do 3 nguyên tố
đặt $k+1= 3^{a}$
$k-1= 3^{b}$
suy ra$a> b$
$\Rightarrow \frac{k+1}{k-1}= 3^{a-b}$
$3^{a-b}$ nguyên
$\Rightarrow k+1\vdots k-1$
$\Rightarrow k=2$ hoặc $\Rightarrow k=3$
đến đây thì dễ rồi
k=2 thì n=1,k=3 thì thôi
- tranducmanh2308 yêu thích
#5
Đã gửi 13-09-2013 - 22:29
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Toàn có thể giải thích hộ mình chỗ này đc ko. Tại sao suy ra luôn được $a-1=1,a+1=3^n$
Vì $\gcd (a-1,a+1)=1$ nên $\gcd (a-1,a+1) \ne 3$ mà $0 \le a-1<a+1$ nên $a-1=1,a+1=3^n$.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#6
Đã gửi 14-09-2013 - 08:53
Phuong Thu Quoc
-
- Thành viên
-
- 784 Bài viết
Trung úy
đặt $3^{n}+1= k^{2}$
$\Rightarrow 3^{n}=\left ( k-1 \right )\left ( k+1 \right )$
do 3 nguyên tố
đặt $k+1= 3^{a}$
$k-1= 3^{b}$
suy ra$a> b$
$\Rightarrow \frac{k+1}{k-1}= 3^{a-b}$
$3^{a-b}$ nguyên
$\Rightarrow k+1\vdots k-1$
$\Rightarrow k=2$ hoặc $\Rightarrow k=3$
đến đây thì dễ rồi
k=2 thì n=1,k=3 thì thôi
Nhận thấy $\left ( k+1;k-1 \right )$=1 nên có thể kết luận luôn rằng k-1=1 và k+1=3n vì k+1>k-1
Thà một phút huy hoàng rồi chợt tối
Còn hơn buồn le lói suốt trăm năm.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
