Chủ đề này có 7 trả lời

[shinichikudo201]

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\frac{a^{6}}{b^{3}+c^{3}}+\frac{b^{6}}{c^{3}+a^{3}}+\frac{c^{6}}{a^{3}+b^{3}}$

Thỏa mãn a;b;c>0 và a+b+c=1.

Mình đang học lớp 8 nhé.

Thanks

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichikudo201: 19-09-2013 - 15:01

[Dung Dang Do]

Thế này nè :Áp dụng Hệ quả C-S ta có 

$ \sum \frac{a^6}{b^3+c^3} \ge \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{2(a^3+b^3+c^3)} =\frac{a^3+b^3+c^3}{2}$

Lại có

$a^3+ \frac{1}{27}+ \frac{1}{27} \ge \frac{a}{3}$

$b^3+ \frac{1}{27}+ \frac{1}{27} \ge \frac{b}{3}$

$c^3+ \frac{1}{27}+ \frac{1}{27} \ge \frac{c}{3}$

Suy ra $$\frac{a^3+b^3+c^3}{2} \ge \frac{\frac{a+b+c}{3}}{2}=\frac{1}{6}$$

[Trang Luong]

Thế này nè :Áp dụng Hệ quả C-S ta có 

$ \sum \frac{a^6}{b^3+c^3} \ge \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{2(a^3+b^3+c^3)} =\frac{a^3+b^3+c^3}{2}$

Lại có

$a^3+ \frac{1}{27}+ \frac{1}{27} \ge \frac{a}{3}$

$b^3+ \frac{1}{27}+ \frac{1}{27} \ge \frac{b}{3}$

$c^3+ \frac{1}{27}+ \frac{1}{27} \ge \frac{c}{3}$

Suy ra $$\frac{a^3+b^3+c^3}{2} \ge \frac{\frac{a+b+c}{3}}{2}=\frac{1}{6}$$

Có thể sử dụng BĐT $a^3+b^3+c^3\geq \left (\frac{a+b+c}{3} \right )^3$  cho phần này đc mà

[Trang Luong]

Thế này nè :Áp dụng Hệ quả C-S ta có 

$ \sum \frac{a^6}{b^3+c^3} \ge \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{2(a^3+b^3+c^3)} =\frac{a^3+b^3+c^3}{2}$

Lại có

$a^3+ \frac{1}{27}+ \frac{1}{27} \ge \frac{a}{3}$

$b^3+ \frac{1}{27}+ \frac{1}{27} \ge \frac{b}{3}$

$c^3+ \frac{1}{27}+ \frac{1}{27} \ge \frac{c}{3}$

Suy ra $$\frac{a^3+b^3+c^3}{2} \ge \frac{\frac{a+b+c}{3}}{2}=\frac{1}{6}$$

 

Phần cuối sai rồi phải là $a^3+b^3+c^3\geq \frac{a+b+c}{3}-\frac{2}{9}=\frac{1}{9}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khonggiadinh: 19-09-2013 - 21:26

[Trang Luong]

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\frac{a^{6}}{b^{3}+c^{3}}+\frac{b^{6}}{c^{3}+a^{3}}+\frac{c^{6}}{a^{3}+b^{3}}$

Thỏa mãn a;b;c>0 và a+b+c=1.

Mình đang học lớp 8 nhé.

Thanks

Áp dụng BĐT AM-GM:

Ta có : $\frac{a^6}{b^3+c^3}=\frac{a^6}{b^3+c^3}+\frac{b^3+c^3}{4}-\frac{b^3+c^3}{4}\geq a^{3}-\frac{b^3+c^3}{4}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^6}{b^3+c^3}\geq \sum a^{3}-\frac{a^3+b^3+c^3}{2}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2}\geq \frac{1}{18}$

[nghiemthanhbach]

Thế này nè :Áp dụng Hệ quả C-S ta có 

$ \sum \frac{a^6}{b^3+c^3} \ge \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{2(a^3+b^3+c^3)} =\frac{a^3+b^3+c^3}{2}$

Lại có

$a^3+ \frac{1}{27}+ \frac{1}{27} \ge \frac{a}{3}$

$b^3+ \frac{1}{27}+ \frac{1}{27} \ge \frac{b}{3}$

$c^3+ \frac{1}{27}+ \frac{1}{27} \ge \frac{c}{3}$

Suy ra $$\frac{a^3+b^3+c^3}{2} \ge \frac{\frac{a+b+c}{3}}{2}=\frac{1}{6}$$

Phần đó áp dụng bất đẳng thức nào vậy anh?

Schwarz hay AM-GM vậy ?

[shinichikudo201]

Áp dụng BĐT AM-GM:

Ta có : $\frac{a^6}{b^3+c^3}=\frac{a^6}{b^3+c^3}+\frac{b^3+c^3}{4}-\frac{b^3+c^3}{4}\geq a^{3}-\frac{b^3+c^3}{4}$

$\Rightarrow \sum \frac{a^6}{b^3+c^3}\geq \sum a^{3}-\frac{a^3+b^3+c^3}{2}=\frac{a^3+b^3+c^3}{2}\geq \frac{1}{18}$

$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2}\geq (\frac{a+b+c}{6})^{3}= \frac{1}{54}$

Mình nghĩ phần cuối bạn làm sai rồi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichikudo201: 20-09-2013 - 14:49

[Trang Luong]

$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2}\geq (\frac{a+b+c}{6})^{3}= \frac{1}{54}$

Mình nghĩ phần cuối bạn làm sai rồi.

Bạn sai rồi thì có.Bạn nên xem lại cách làm của mình đy   

$\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{2}=\frac{1}{2}\sum a^3\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^3$