Chủ đề này có 1 trả lời

[wolfnight1997]

tìm hàm số f, g xác định trên R thỏa mãn :

2f(x) - g(x-y) = f(y) + y                                                    x,y thuộc R

( f(x) - 2011 )( g(x) - 2011 ) >= x+1

[perfectstrong]

Lời giải:

Quy ước $a:=b$ nghĩa là thay $a$ bởi $b$.

\[
\begin{array}{l}
 \left( 1 \right):\forall x,y \in R:2f\left( x \right) - g\left( {x - y} \right) = f\left( y \right) + y \\
 \left( 2 \right):\forall x \in R:\left( {f\left( x \right) - 2011} \right)\left( {g\left( x \right) - 2011} \right) \ge x + 1 \\
 a = g\left( 0 \right) \\
 y: = x,\left( 1 \right) \Rightarrow 2f\left( x \right) - g\left( 0 \right) = f\left( x \right) + x \Rightarrow f\left( x \right) = a + x,\forall x \Rightarrow f\left( 0 \right) = g\left( 0 \right) = a \\
 y: = 0,\left( 1 \right) \Rightarrow g\left( x \right) = 2f\left( x \right) - f\left( 0 \right) = 2x + a \\
 \left( 2 \right) \Leftrightarrow \left( {x + a - 2011} \right)\left( {2x + a - 2011} \right) \ge x + 1 \\
  \Leftrightarrow 2x^2  + \left[ {3\left( {a - 2011} \right) - 1} \right]x + \left( {a - 2011} \right)^2  - 1 \ge 0,\forall x \\
  \Leftrightarrow \Delta  = \left[ {3\left( {a - 2011} \right) - 1} \right]^2  - 4.2.\left[ {\left( {a - 2011} \right)^2  - 1} \right] = 0 \\
  \Leftrightarrow \left( {a - 2014} \right)^2  = 0 \Leftrightarrow a = 2014 \\
 \forall x \in R:\left\{ \begin{array}{l}
 f\left( x \right) = x + 2014 \\
 g\left( x \right) = 2x + 2014 \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}
\]