Chủ đề này có 32 trả lời

[nghiemthanhbach]

Lâu quá không ai giải, mình post đáp án vậy:

$(1)\Leftrightarrow \sum \frac{1}{4+a}\geq \sum \frac{a}{4+a^2}\Leftrightarrow \sum \frac{1-a}{(4+a)(4+a^2)}\geq 0$

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $a\geq b\geq c\geq d\geq e\rightarrow \sum \frac{1-a}{4+a}< \frac{1-b}{4+b}< \frac{1-c}{4+c}< \frac{1-d}{4+d}< \frac{1-e}{4+e}$

và ta có: $\frac{1}{4+a^2}\leq \frac{1}{b^2}\leq \frac{1}{4+c^2}\leq \frac{1}{4+d^2}\leq \frac{1}{4+e^2}$

Sử dụng bdt Chebyshev ta được:

$\sum \frac{1-a}{(4+a)(4+a^2)}\geq 5\sum \frac{1-a}{4+a}.\sum \frac{1}{4+a^2}=\frac{1}{5}\sum \frac{1}{4+a^2}.\sum (\frac{5}{4+a}-1)=0$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d=e=1$

[nghiemthanhbach]

Bài mới toanh đây:

Cho $a,b,c\geq 0\wedge \sum a=3$. Chứng minh $\sum \frac{1}{c^2+a+b}\leq 1$

 

p/s: Được quyền sử dụng bdt Chebushev

[deathavailable]

Lâu quá không ai giải, mình post đáp án vậy:

$(1)\Leftrightarrow \sum \frac{1}{4+a}\geq \sum \frac{a}{4+a^2}\Leftrightarrow \sum \frac{1-a}{(4+a)(4+a^2)}\geq 0$

Không mất tính tổng quát, ta giả sử $a\geq b\geq c\geq d\geq e\rightarrow \sum \frac{1-a}{4+a}< \frac{1-b}{4+b}< \frac{1-c}{4+c}< \frac{1-d}{4+d}< \frac{1-e}{4+e}$

và ta có: $\frac{1}{4+a^2}\leq \frac{1}{b^2}\leq \frac{1}{4+c^2}\leq \frac{1}{4+d^2}\leq \frac{1}{4+e^2}$

Sử dụng bdt Chebyshev ta được:

$\sum \frac{1-a}{(4+a)(4+a^2)}\geq 5\sum \frac{1-a}{4+a}.\sum \frac{1}{4+a^2}=\frac{1}{5}\sum \frac{1}{4+a^2}.\sum (\frac{5}{4+a}-1)=0$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d=e=1$

Nốt bài kia đi bạn

[deathavailable]

Bài mới toanh đây:

Cho $a,b,c\geq 0\wedge \sum a=3$. Chứng minh $\sum \frac{1}{c^2+a+b}\leq 1$

 

p/s: Được quyền sử dụng bdt Chebushev

Áp dụng bđt Cauchy - Swarch ta có :

$(c^{2}+a+b)(1+a+b)\geqslant (\sum a)^{2}=9\Leftrightarrow \sum \frac{1}{c^{2}+a+b}\leqslant \sum \frac{1+a+b}{9}=1$

Dấu "=" khi a=b=c=1

BĐT được cm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi deathavailable: 22-09-2013 - 22:41

[nghiemthanhbach]

Tổng hợp lại nguyên nhân sai sót:

1) Do chủ quan, không kiểm tra dấu bằng

2) Áp dụng bất đẳng thức không nhìn điều kiện

Đây là những lưu ý khi làm dạng Max min

 

Mai lúc 12h mình sẽ post thêm vài bài khác

 

Bất đẳng thức Chebushev: $a_{1\geq }a_{2}\geq ...\wedge b_{1}\geq b_{2}\geq ...$ dẫn tới n thì:

$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n{a_{k}b_{k}}\geq (\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_k)(\frac{1}{n}\sum_{k=1}{n}b_{k})$

Bất đẳng thức đổi chiều nếu điều của $a_{k}$ không đổi còn b thì là $b_{1}\leq b_{2}\leq ...$

 

p/s: Sory vì quên post cái này, mải ra đề quên mất hì hì

[nghiemthanhbach]

 

Áp dụng bđt Cauchy - Swarch ta có :

$(c^{2}+a+b)(1+a+b)\geqslant (\suma)^{2}=9\Leftrightarrow \sum \frac{1}{c^{2}+a+b}\leqslant \sum \frac{1+a+b}{9}=1$

Dấu "=" khi a=b=c=1

BĐT được cm

 

Đúng rồi

Cách khác ta sẽ giả sử $a\geq b\geq c$ không mất tính tổng quát rồi sử dụng Chebyshev là được

Chỉnh lại phần màu đỏ để mình nhìn nữa bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nghiemthanhbach: 22-09-2013 - 22:36

[nghiemthanhbach]

Học hỏi không bao giờ là thiếu. tinh thần của bạn deathavailable rất tốt nên mình cho thêm bài này cho vui nhé:

Chứng minh Nesbitt cho 4 số bằng phương pháp đặt ẩn phụ

chú thích chỉ cho vui, làm bật lên một phương pháp biến đổi tương đương mới đó bạn

[deathavailable]

Học hỏi không bao giờ là thiếu. tinh thần của bạn deathavailable rất tốt nên mình cho thêm bài này cho vui nhé:

Chứng minh Nesbitt cho 4 số bằng phương pháp đặt ẩn phụ

chú thích chỉ cho vui, làm bật lên một phương pháp biến đổi tương đương mới đó bạn

Nesbitt hả bạn :

 

Đặt $S=\sum \dfrac{a}{b+c}, M = \sum \dfrac{b}{b+c}, N=\sum \dfrac{c}{b+c}$ thì có:

 

$M+N=4$

Áp Dụng AM-GM thì $M+S \geq 4 , N+S\geq 4 \rightarrow  M+N+2S\geq 8 $ hay $S\geq 2$

[nghiemthanhbach]

Nesbitt hả bạn :

 

Đặt $S=\sum \dfrac{a}{b+c}, M = \sum \dfrac{b}{b+c}, N=\sum \dfrac{c}{b+c}$ thì có:

 

$M+N=4$

Áp Dụng AM-GM thì $M+S \geq 4 , N+S\geq 4 \rightarrow  M+N+2S\geq 8 $ hay $S\geq 2$

Đúng rồi bạn

Giờ mình cho bạn bài khác

Chứng minh bất đẳng thức Schur.

p/s: Cái này để làm quen thôi

[deathavailable]

Đúng rồi bạn

Giờ mình cho bạn bài khác

Chứng minh bất đẳng thức Schur.

p/s: Cái này để làm quen thôi

Schur dạng nào bạn, gõ hẳn đề ra đi :3

[nghiemthanhbach]

Đề:

Chứng minh bất đẳng thức sau: $\sum a^k(a-b)(a-c)\geq 0$ với $a,b,c>0\in R\wedge k\in R>0$

Đáp án chiều nay đi học về sẽ post cùng 10 bài khác

[deathavailable]

Đề:

Chứng minh bất đẳng thức sau: $\sum a^k(a-b)(a-c)\geq 0$ với $a,b,c>0\in R\wedge k\in R>0$

Đáp án chiều nay đi học về sẽ post cùng 10 bài khác

Không mất tính tổng quát, giả sử cho $ a \ge b \ge c \ge 0$, suy ra
$c^k(a-c)(b-c)+(a-b)[a^k(a-c)-b^k(b-c)] \ge 0$

mà theo giả sử thì $a-c >0, b-c>0, a-b>0 $ nên BĐT trên đúng,

[nghiemthanhbach]

Đúng!

Tốt nhỉ

Nhưng không ai tham gia nữa

Thôi mình post bài cuối rồi nhờ anh Jinbe đóng Topic lại

Ứng dụng cua Schur nhé:

Cho $a,b,c\geq 0$. Chứng minh $\frac{\sum a^3}{\prod a+b}+9.\frac{\sum ab}{\sum a^2}\geq 5$

[Topic] xin kết thúc tại đây (mọi người thờ ơ quá )