Chủ đề này có 5 trả lời

[ocean99]

Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. CMR:

$\frac{a^2+b}{b+c}+\frac{b^2+c}{c+a}+\frac{c^2+a}{a+b} \geq 2$

[kfcchicken98]

có$\sum \frac{a^{2}+b}{b+c} = \sum \frac{a^{2}+b}{1-a}$
$\sum \frac{a^{2}}{b+c} \geq \frac{1}{2}$
và $\sum \frac{b}{1-a} = \sum \frac{b^{2}}{b-ab}$
do$\sum ab \leq \frac{1}{3}$
nên $\sum \frac{b^{2}}{b-ab} \geq \frac{3}{2}$
cộng 2 vế vào , có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kfcchicken98: 23-09-2013 - 00:03

[ocean99]

có$\sum \frac{a^{2}+b}{b+c} = \sum \frac{a^{2}+b}{1-a}$
$\sum \frac{a^{2}}{b+c} \geq \frac{1}{2}$
và $\sum \frac{b}{1-a} = \sum \frac{b^{2}}{b-ab}$
do$\sum ab \leq \frac{1}{3}$
nên $\sum \frac{b^{2}}{b-ab} \geq \frac{3}{2}$
cộng 2 vế vào , có đpcm

Hình như bị ngược dấu chỗ màu đỏ rồi bạn!

[Hoang Tung 126]

Ta có :$\frac{a^2+b}{b+c}+a+\frac{b^2+c}{c+a}+b+\frac{c^2+a}{a+b}+c=\frac{a(a+b+c)+b}{b+c}+\frac{b(b+c+a)+c}{c+a}+\frac{c(c+a+b)+a}{a+b}=\frac{a(a+b+c)+b(a+b+c)}{b+c}+\frac{b(a+b+c)+c(a+b+c)}{c+a}+\frac{c(c+a+b)+a(a+b+c)}{a+b}=\frac{(a+b+c)(a+b)}{b+c}+\frac{(a+b+c)(b+c)}{c+a}+\frac{(c+a)(a+b+c)}{b+a}=(a+b+c)(\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+\frac{c+a}{a+b})\geq 3(a+b+c)\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}=3(a+b+c)= > \frac{a^2+b}{b+c}+\frac{b^2+c}{c+a}+\frac{c^2+a}{a+b}\geq 3(a+b+c)-(a+b+c)=2(a+b+c)=2$(đpcm) 

 Dấu =xảy ra khi a=b=c=$\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 26-09-2013 - 14:15

[ocean99]

Ta có :$\frac{a^2+b}{b+c}+a+\frac{b^2+c}{c+a}+b+\frac{c^2+a}{a+b}+c=\frac{a(a+b+c)+b}{b+c}+\frac{b(b+c+a)+c}{c+a}+\frac{c(c+a+b)+a}{a+b}=\frac{a(a+b+c)+b(a+b+c)}{b+c}+\frac{b(a+b+c)+c(a+b+c)}{c+a}+\frac{c(c+a+b)+a(a+b+c)}{a+b}=\frac{(a+b+c)(a+b)}{b+c}+\frac{(a+b+c)(b+c)}{c+a}+\frac{(c+a)(a+b+c)}{b+a}=(a+b+c)(\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+a}+\frac{c+a}{a+b})\geq 3(a+b+c)\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}}=3(a+b+c)= > \frac{a^2+b}{b+c}+\frac{b^2+c}{c+a}+\frac{c^2+a}{a+b}\geq 3(a+b+c)-(a+b+c)=2(a+b+c)=2$(đpcm) 

 Dấu =xảy ra khi a=b=c=$\frac{1}{3}$

Cách làm của anh hay thật khác hẩn trong HD, kể có thêm nút like em like nhiệt tình!!

Tiện anh cho em hỏi sao anh lại nghĩ ra đc như vậy ạ?????????

[Hoang Tung 126]

Lưu ý là có đk :a+b+c=1 rồi thay vào thôi