Chủ đề này có 1 trả lời

[tienthcsln]

Cho x,y,z>0. C/m:

                               $16xyz\left ( x+y+z \right )\leq \sqrt[3]{\left ( x+y \right )^{4}\left ( y+z \right )^{4}\left ( z+x \right )^{4}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienthcsln: 25-09-2013 - 11:19

[Hoang Tung 126]

Vế trái phải là $\frac{16xyz(x+y+z)}{3}$ Ta có bdt :$(x+y)(y+z)(z+x)\geq \frac{8(x+y+z)(xy+yz+xz)}{9}= > (x+y)^4(y+z)^4(z+x)^4\geq \frac{8^4(x+y+z)^4(xy+yz+xz)^4}{9^4}= > \sqrt[3]{(x+y)^4(y+z)^4(z+x)^4}\geq \sqrt[3]{\frac{8^4(x+y+z)^4(xy+yz+xz)^4}{9^4}}.$ 

Ta sẽ CM :$\sqrt[3]{\frac{8^4(x+y+z)^4(xy+yz+xz)^4}{9^4}}$\geq \frac{16xyz(x+y+z)}{3}$< = > \frac{8^4(x+y+z)^4(xy+yz+xz)^4}{9^4}$\geq \frac{16^3x^3y^3z^3(x+y+z)^3}{3^3}$ < = > \frac{(x+y+z)(xy+yz+xz)^4}{243}\geq (xyz)^3$.

Mặt khác theo bdt cosi ta có :$(x+y+z)(xy+yz+xz)\geq 9xyz,(xy+yz+xz)^3\geq (3\sqrt[3]{x^2y^2z^2})^3=27x^2y^2z^2= > (x+y+z)(xy+yz+xz)^4\geq 243x^3y^3z^3$(luôn đúng)

 Dấu= xảy ra khi x=y=z

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 25-09-2013 - 18:10