Chủ đề này có 1 trả lời

[cityhuntervp]

Tìm tất cả các hàm $f:Q \to Q$ tìm $\left\{\begin{matrix} f(x)=2 & \\ f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1 & \end{matrix}\right.$

[AnnieSally]

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học

Lời giải:

Gọi HPT trên là (1)

Cho $x=1$ và $y=n$ trong (1) $\Leftrightarrow$  ta có:

$f(n)=2f(n)-f(n+1)+1 \Leftrightarrow f(n+1)=f(n)+1$ $\forall n \in \mathbb{N}$

$\Rightarrow$ $f(n)=n+1$ $\forall n \in \mathbb{N}$

+) Cho $x=0$ và $y=n$ $\Rightarrow f(0)=f(0)(n+1)-f(n)+1$

                                      $\Rightarrow f(0)=f(0)(n+1)-n-1+1$

                                      $\Rightarrow nf(0)=n$        $\forall n \in \mathbb{N}$

                                      $\Rightarrow f(0)=1$

+) Với mỗi $z \in \mathbb{Z}$, cho $x=-1$ và $y=1$ trong đó (1) có $f(-1)=0$

+) Cho $x=-1$ và $y=n$ $\Rightarrow f(-n)=-f(n-1)+1=-n+1$

                                       $\Rightarrow f(z)=z+1$ với mỗi $z \in \mathbb{Z}$

+) Cho $x=n$, $y=\frac{1}{n}$ ta có $f(1)=(n+1)f(\frac{1}{n})-f(n+\frac{1}{n})+1$ (2)

 

Hơn nữa: Cho $x=1$ và $y=m+\frac{1}{n} \Rightarrow f(m+1+\frac{1}{n})=f(m+\frac{1}{n})+1$

Theo phương pháp quy nạp $\Rightarrow f(m+\frac{1}{n})=m+f(\frac{1}{n}$. Từ (2) ta có:

$f(\frac{1}{n})=\frac{1}{n}+1$ $\forall n \in \mathbb{N^*}$

Mặt khác: Cho $x=m$ và $y=\frac{1}{n}$ ta có: $f(\frac{m}{n})=\frac{m}{n}+1$

                $\Rightarrow f(r)=r+1$ $\forall r \in \mathbb{Q^+}$

+) Cho $x=-1$ và $y=r$ ta có $f(-r)=-f(r-1)=-f(r-1)=-f(r-1)+1=-r+1$

$\Rightarrow f(x)=x+1$ với mỗi $x \in \mathbb{Q}$

Thử lại: Từ $xy+1=(x+1)(y+1)-(x+y+1)+1$

$\forall x,y \in \mathbb{Q} \Rightarrow f(x)=x+1$ là hàm số cần tìm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 25-09-2013 - 22:32