Chủ đề này có 3 trả lời

[Ngoc Hung]

Cho a, b, c > 0. CMR: $\frac{a^{5}}{a^{2}+ab+b^{2}}+\frac{b^{5}}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{c^{5}}{c^{2}+ca+a^{2}}\geqslant \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{3}$

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 28-09-2013 - 12:39

[Dung Dang Do]

$$\sum \frac{a^5}{a^2+ab+b^2}=\frac{a^6}{a^3+a^2b+b^2a} \ge \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}$$

$$\ge \frac{(a^3+b^3+c^3)^2}{3(a^3+b^3+c^3}$$

[minhtu98vn]

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c > 0

[Hoang Tung 126]

Cách khác:$\frac{a^5}{a^2+ab+b^2}-a^3=\frac{-a^3b(a+b)}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{-a^3b(a+b)}{2ab+ab}=\frac{-a^3b(a+b)}{3ab}=\frac{-a^2(a+b)}{3}=\frac{-a^3-a^2b}{3}= > \frac{a^5}{a^2+ab+b^2}\geq a^3-\frac{a^3+a^2b}{3}=\frac{2a^3-a^2b}{3}$

Tương tự $\frac{b^5}{b^2+bc+c^2}\geq \frac{2b^3-b^2c}{3},\frac{c^5}{c^2+ac+a^2}\geq \frac{2c^3-c^2a}{3}= > \sum \frac{a^5}{a^2+ab+b^2}\geq \frac{2(a^3+b^3+c^3)-(a^2b+b^2c+c^2a)}{3}\geq \frac{2(a^3+b^3+c^3)-(a^3+b^3+c^3)}{3}=\frac{a^3+b^3+c^3}{3}$

(đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 28-09-2013 - 14:24