Chủ đề này có 5 trả lời

[LittleAquarius]

Bài 1: Cho $a, b, c >0$ và $ab+bc+ca=abc$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3a+b+2c}<\frac{3}{16}$

 

Bài 2: Cho $a, b >0$ và $a+b=1$. Chứng minh rằng: $\frac{2}{ab}+\frac{3}{a^{2}+b^{2}}\geqslant 14$
 

Bài 3: Cho $a, b, c>0$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{(a+2b)(a+2c)}+\frac{1}{(b+2c)(b+2a)}+\frac{1}{(c+2a)(c+2b)}\geqslant \frac{3}{(a+b+c)^{2}}$

[nghiemthanhbach]

Bài 2: Áp dụng bdt schwarz

$\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\geq \frac{4}{(a+b)^2}=\frac{4}{1}=4\rightarrow \frac{4}{2ab}+\frac{4}{a^2+b^2}\geq \frac{16}{(a+b)^2}=16$

Ta có: $\sum a^2>1(\sum a=1,a,b>0)\Rightarrow \frac{1}{\sum a^2}< 1\rightarrow -\frac{1}{\sum a^2}>1$

Đến đây làm tiếp

Sai chỗ nào bạn nói mình nhé, mình lâu lâu làm nhầm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nghiemthanhbach: 01-10-2013 - 14:56

[letankhang]

 

 

Bài 2: Cho $a, b >0$ và $a+b=1$. Chứng minh rằng: $\frac{2}{ab}+\frac{3}{a^{2}+b^{2}}\geqslant 14$
 

 

Áp dụng 2 BĐT : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y};\frac{1}{2xy}\leq \frac{2}{(x+y)^{2}}$

$\frac{2}{ab}+\frac{3}{a^{2}+b^{2}}=3(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^{2}+b^{2}})+\frac{1}{2ab}\geq 3.\frac{4}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{\frac{(a+b)^{2}}{2}}=14$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 01-10-2013 - 15:02

[Hoang Tung 126]

Bài 1: Áp dụng bdt Bunhiacopxki ta có 

  $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\geq \frac{(1+1+1+1+1+1)^2}{a+2b+3c}= > \frac{1}{a+2b+3c}\leq \frac{1}{36}.(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c})$

Tương tự :$\frac{1}{b+2c+3a}\leq \frac{1}{36}.(\frac{1}{b}+\frac{2}{c}+\frac{3}{a}),\frac{1}{c+2a+3b}\leq \frac{1}{36}.(\frac{1}{c}+\frac{2}{a}+\frac{3}{b})$

Cộng theo vế các bdt cùng chiều $= > A=\sum \frac{1}{a+2b+3c}\leq \frac{1}{36}.(\frac{6}{a}+\frac{6}{b}+\frac{6}{c})=\frac{1}{6}.(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{ab+bc+ac}{6abc}=\frac{abc}{6abc}=\frac{1}{6}< \frac{3}{16}$(đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Tung 126: 01-10-2013 - 15:36

[Hoang Tung 126]

Bài 3:Ta có :Theo bdt Bunhiacopxki ta có :$\sum \frac{1}{(a+2b)(a+2c)}\geq \frac{(1+1+1)^2}{(a+2b)(a+2c)+(b+2c)(b+2a)+(c+2a)(c+2b)}=\frac{9}{a^2+b^2+c^2+4(ab+bc+ac)}=\frac{9}{(a+b+c)^2+7(ab+bc+ac)}\geq \frac{9}{(a+b+c)^2+\frac{7(a+b+c)^2}{3}}=\frac{9}{\frac{10(a+b+c)^2}{3}}=\frac{30}{10(a+b+c)^2}=\frac{3}{(a+b+c)^2}$

Dấu  = xảy ra khi a=b=c

[25 minutes]

Bài 3: Cho $a, b, c>0$. Chứng minh rằng: $\frac{1}{(a+2b)(a+2c)}+\frac{1}{(b+2c)(b+2a)}+\frac{1}{(c+2a)(c+2b)}\geqslant \frac{3}{(a+b+c)^{2}}$

Áp dụng AM-GM ta có $(a+2b)(a+2c)\leqslant \frac{(a+2b+a+2c)^2}{4}=(a+b+c)^2$

$\Rightarrow \frac{1}{(a+2b)(a+2c)}\geqslant \frac{1}{(a+b+c)^2}$

Tương tự $2$ bất đẳng thức còn lại rồi cộng vào ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0$