Chủ đề này có 1 trả lời

[perfectstrong]

Giải trí một chút

 

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ thỏa\[
f\left( {xy} \right) + f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right)f\left( y \right) + f\left( x \right) + f\left( y \right),\forall x,y \in \mathbb{Z}
\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 09-10-2013 - 22:55

[Idie9xx]

Giải trí một chút

 

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ thỏa\[
f\left( {xy} \right) + f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right)f\left( y \right) + f\left( x \right) + f\left( y \right),\forall x,y \in \mathbb{Z}
\]

Bài này bạn giải rồi mà

Cho $x=y=0$ có $f(0)=0$

Cho $x=1,y=-1$ có $f(1)(f(-1)+1)=0$

- Với $f(1)=0$

Cho $y=1$ có $f(x+1)=0\Rightarrow f(x)=0,\forall x\in \mathbb{Z}$

- Với $f(1)\neq 0\Rightarrow f(-1)=-1$

Cho $x=-2,y=1$ có $f(-1)=f(1)(f(-2)+1)\Rightarrow \dfrac{-1}{f(1)}=f(-2)+1\in \mathbb{Z}$

$\Rightarrow f(1)=1$ hoặc $f(1)=-1$

+ Với $f(1)=1$

Thay $y=1$ có $f(x+1)=f(x)+1\Rightarrow f(x)=x,\forall x\in \mathbb{Z}$ (do $f(0)=0$)

+ Với $f(1)=-1$

Thay $y=1$ có $f(x+1)=-f(x)-1\Rightarrow f(x+2)=f(x)$

$\Rightarrow x$ chẵn thì $f(x)=0,x$ lẻ thì $f(x)=-1,(*)$

Thay $x,y$ đều lẻ vào thì $xy$ lẻ, $x+y$ chẵn và thỏa mãn PT.

Thay $x,y$ đều chẵn vào thì $xy,x+y$ chẵn và thỏa mãn PT.

Thay $x$ lẻ, $y$ chẵn thì $xy$ chẵn, $x+y$ lẻ và thỏa mãn PT

Vậy có ba hàm thỏa đề là $f(x)=0,f(x)=x$ và một hàm xác định bởi $(*)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 10-10-2013 - 14:04