Cho tập S={1, 2, 3,...,n} với $n\geq 1$. Gọi $P_{n}(k)$ là số hoán vị của tập S có đúng k điểm cố định. Chứng minh rằng $\sum_{k=0}^{n}kP_{n}(k)=n!$
#1
Đã gửi 12-10-2013 - 21:49
PTKBLYT9C1213
-
- Thành viên
-
- 384 Bài viết
Sĩ quan
#2
Đã gửi 12-10-2013 - 21:54
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Xem tại đây.
- PTKBLYT9C1213 yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Đã gửi 12-10-2013 - 21:55
PTKBLYT9C1213
-
- Thành viên
-
- 384 Bài viết
Sĩ quan
Theo cách giải trong cuốn " CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TỔ HỢP VÀ RỜI RẠC" thì:
Vì tổng tất cả các hoán vị của n phần tử có 0, 1, 2,..., n điểm cố định bằng tất cả các hoán vị có thể của n phần tử, tức bằng n! nên ta có đẳng thức: $\sum_{k=0}^{n}P_{n}(k)=n!$ (*)
Mình thấy đẳng thức (*) đúng và đầu bài ra cũng đúng, phải chăng là có mâu thuẫn?????????????????? 
- AnnieSally yêu thích
THE SHORTEST ANSWER IS DOING
#4
Đã gửi 12-10-2013 - 21:57
PTKBLYT9C1213
-
- Thành viên
-
- 384 Bài viết
Sĩ quan
#5
Đã gửi 12-10-2013 - 22:25
hxthanh
-
- Hiệp sỹ
-
- 3921 Bài viết
Tín đồ $\sum$
Theo cách giải trong cuốn " CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TỔ HỢP VÀ RỜI RẠC" thì:Vì tổng tất cả các hoán vị của n phần tử có 0, 1, 2,..., n điểm cố định bằng tất cả các hoán vị có thể của n phần tử, tức bằng n! nên ta có đẳng thức: $\sum_{k=0}^{n}P_{n}(k)=n!$ (*)
Mình thấy đẳng thức (*) đúng và đầu bài ra cũng đúng, phải chăng là có mâu thuẫn??????????????????
Sẽ không có gì mâu thuẫn cả!
Bạn có thể chứng minh rằng: $P_n(k)=\dfrac{n!}{k!}\sum_{i=0}^{n-k}\frac{(-1)^i}{i!}\qquad (1)$
Từ $(1)$ bạn sẽ có:
$P_n(k+1)=\dfrac{n!}{(k+1)k!}\left[\sum_{i=0}^{n-k}\frac{(-1)^i}{i!} - \dfrac{(-1)^{n-k}}{(n-k)!}\right]$
Suy ra đẳng thức:
$(k+1)P_n(k+1)=P_n(k)-C_n^{n-k}(-1)^{n-k}$
Lấy tổng 2 vế từ $k=0$ đến $k=n$ (Chú ý rằng $P_n(n+1)=0$), ta có:
$1P_n(1)+2P_n(2)+...+nP_n(n)=\sum_{k=0}^n P_n(k)-\underbrace{\sum_{k=0}^n C_n^{n-k}(-1)^{n-k}}_{=(1-1)^n}$
Hay $\sum_{k=0}^n kP_n(k)=\sum_{k=0}^n P_n(k)=n!$
Bạn hãy chứng minh công thức $(1)$ xem!
- Kudo Shinichi, LNH, PTKBLYT9C1213 và 1 người khác yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
