Cho tập S={1, 2, 3,...,n} với $n\geq 1$. Gọi $P_{n}(k)$ là số hoán vị của tập S có đúng k điểm cố định. Chứng minh rằng $\sum_{k=0}^{n}kP_{n}(k)=n!$
Cho tập S={1, 2, 3,...,n} với $n\geq 1$. Gọi $P_{n}(k)$ là số hoán vị của tập S có đúng k điểm cố định. Chứng minh rằng $\sum_{k=0}^{n}kP_{n}(k)=n!$
THE SHORTEST ANSWER IS DOING
Xem tại đây.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
Theo cách giải trong cuốn " CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TỔ HỢP VÀ RỜI RẠC" thì:
Vì tổng tất cả các hoán vị của n phần tử có 0, 1, 2,..., n điểm cố định bằng tất cả các hoán vị có thể của n phần tử, tức bằng n! nên ta có đẳng thức: $\sum_{k=0}^{n}P_{n}(k)=n!$ (*)
Mình thấy đẳng thức (*) đúng và đầu bài ra cũng đúng, phải chăng là có mâu thuẫn??????????????????
THE SHORTEST ANSWER IS DOING
Theo cách giải trong cuốn " CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TỔ HỢP VÀ RỜI RẠC" thì:Vì tổng tất cả các hoán vị của n phần tử có 0, 1, 2,..., n điểm cố định bằng tất cả các hoán vị có thể của n phần tử, tức bằng n! nên ta có đẳng thức: $\sum_{k=0}^{n}P_{n}(k)=n!$ (*)
Mình thấy đẳng thức (*) đúng và đầu bài ra cũng đúng, phải chăng là có mâu thuẫn??????????????????
Sẽ không có gì mâu thuẫn cả!
Bạn có thể chứng minh rằng: $P_n(k)=\dfrac{n!}{k!}\sum_{i=0}^{n-k}\frac{(-1)^i}{i!}\qquad (1)$
Từ $(1)$ bạn sẽ có:
$P_n(k+1)=\dfrac{n!}{(k+1)k!}\left[\sum_{i=0}^{n-k}\frac{(-1)^i}{i!} - \dfrac{(-1)^{n-k}}{(n-k)!}\right]$
Suy ra đẳng thức:
$(k+1)P_n(k+1)=P_n(k)-C_n^{n-k}(-1)^{n-k}$
Lấy tổng 2 vế từ $k=0$ đến $k=n$ (Chú ý rằng $P_n(n+1)=0$), ta có:
$1P_n(1)+2P_n(2)+...+nP_n(n)=\sum_{k=0}^n P_n(k)-\underbrace{\sum_{k=0}^n C_n^{n-k}(-1)^{n-k}}_{=(1-1)^n}$
Hay $\sum_{k=0}^n kP_n(k)=\sum_{k=0}^n P_n(k)=n!$
Bạn hãy chứng minh công thức $(1)$ xem!
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh