Chủ đề này có 1 trả lời

[kb1212]

tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa:

 $f(2x)=f(sin\frac{x+y}{2}\pi)+f(sin\frac{x-y}{2}\pi)$

[Idie9xx]

tìm tất cả hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa:

 $f(2x)=f(sin\frac{x+y}{2}\pi)+f(sin\frac{x-y}{2}\pi)$

Cho $x=y=0$ có $f(0)=2f(\sin 0)\Rightarrow f(0)=0$

Cho $y=x$ có $f(2x)=f(\sin (x\pi))$

$\Rightarrow f(2x)=f(x+y)+f(x-y)\Rightarrow f$ cộng tính.

Ta có $f(4x)=f(\sin [(x+y)\pi])+f(\sin [(x-y)\pi])=f(\sin [(x+y)\pi]+\sin [(x-y)\pi])$

$\Rightarrow f(\sin (2x\pi))=f(2\sin (x\pi) \cdot \cos (y\pi))$

$\Rightarrow f(2\sin (x\pi) \cdot \cos (x\pi))=f(2\sin (x\pi) \cdot \cos (y\pi)),(*)$

Thay $x=1$ vào $(*)$ có $0=f(0)=f(\sin (2\pi))=f(2\cos (y\pi))$

Do $-1\leq \cos (y\pi) \leq 1$ nên $f(x)=0,\forall x\in [-2;2]$

Cộng thêm dữ kiện $f(x)=f(\sin (\frac{x}{2}\pi))$

$\Rightarrow \boxed{f(x)=0},\forall x\in \mathbb{R}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 20-10-2013 - 17:36