Chủ đề này có 2 trả lời

[Zimmi]

1.a+b+c=1 $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq \frac{1}{2}$ cmr $0\leq a,b,c\leq \frac{1+\sqrt{3}}{4}$

2.cho a,b,c>0,$\frac{a}{1+b}+\frac{b}{1+c}+\frac{c}{1+a}=1$ tìm Min M=$(\frac{1+b}{a}-1)(\frac{1+c}{b}-1)(\frac{1+a}{c}-1)$

3.cho a,b>0,a+b=4 tìm Min M=$2a+3b+\frac{6}{a}+\frac{10}{b}$

 

[1110004]

Câu $3$ dễ xơi nhất mình làm:

 

áp dụng BDT AM-GM ta có $\frac{3}{2}a+\frac{6}{a}\geq 6$

 

                                           $\frac{5}{2}b+\frac{10}{b}\geq 10$

 

cho nên $M\geq 18$ dấu bằng xảy ra khi $a=b=2$

 

câu $2$

 

đặt      $x=\frac{a}{1+b};y=\frac{b}{1+c};z=\frac{c}{1+a}$ khi đó $x+y+z=1$ ,$x,y,z>0$,và ta cần tìm min của $M=(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{y}-1)(\frac{1}{z}-1)=(\frac{y+z}{x})(\frac{x+z}{y})(\frac{y+x}{z})$

 

theo BDT AM-GM thì $(\frac{y+z}{x})(\frac{x+z}{y})(\frac{y+x}{z})\geq 8\frac{\sqrt{x^{2}y^{2}z^{2}}}{xyz}=8$

 

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{2}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1110004: 16-10-2013 - 16:55

[datcoi961999]

 

3.cho a,b>0,a+b=4 tìm Min M=$2a+3b+\frac{6}{a}+\frac{10}{b}$

viết lại ta được $M=8+b+\frac{6}{4-b}+\frac{10}{b}=8+\frac{6}{4-b}+\frac{6}{b}+\frac{4}{b}+b$

áp dụng bđt cauchy cho 2số dương ta có

$\frac{4}{b}+b\geq4$ dấu bằng xảy ra $<=>b=2$

áp dụng bđt Bunhiacopski dạng phân thức ta có

$y=\frac{6}{4-b}+\frac{6}{b}=\frac{1}{6}(\frac{6^2}{4-b}+\frac{6^2}{b})\geq \frac{1}{6}.\frac{(6+6)^2}{4-b+b}=6$

dấu "=" xảy ra <=>$\frac{6}{4-b}=\frac{6}{b}<=>b=2$

$$=>M\geq 8+4+6=18<=>a=b=2$$