Mình có bài này mong các bạn giải giùm:
Cho $x;y> 0$ và $x^{2}+y^{2}=1$. Tìm min của:
$(1+x)(1+\frac{1}{y})+(1+y)(1+\frac{1}{x})$
Mình đang học lớp 8 nhé.
Thanks.
Tìm min $(1+x)(1+\frac{1}{y})+(1+y)(1+\frac{1}{x})$
Bắt đầu bởi shinichikudo201, 17-10-2013 - 11:08
#2
Đã gửi 17-10-2013 - 11:16
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Mình có bài này mong các bạn giải giùm:
Cho $x;y> 0$ và $x^{2}+y^{2}=1$. Tìm min của:
$A=(1+x)(1+\frac{1}{y})+(1+y)(1+\frac{1}{x})$
Mình đang học lớp 8 nhé.
Thanks.
Lời giải. Ta có $A= \left( \frac xy +\frac yx \right)+ 2+ \frac 1y + \frac 1x+x+y \ge 4+ \frac 1y + \frac 1x+ x+y$.
Áp dụng BĐT AM-GM thì $\frac{1}{2x} + x \ge \sqrt 2, \frac{1}{2y} + y \ge \sqrt 2, \frac{1}{2x}+ \dfrac{1}{2y} \ge \frac{4}{x+y} \ge \frac{2}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}= 2 \sqrt 2$.
Do đó $A \ge 4+3 \sqrt 2$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y= \frac{1}{ \sqrt 2}$.
- Kaitou Kid 1412, nguyentrungphuc26041999, datcoi961999 và 3 người khác yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#3
Đã gửi 17-10-2013 - 16:40
shinichikudo201
-
- Thành viên
-
- 521 Bài viết
Thiếu úy
Lời giải. Ta có $A= \left( \frac xy +\frac yx \right)+ 2+ \frac 1y + \frac 1x+x+y \ge 4+ \frac 1y + \frac 1x+ x+y$.
Áp dụng BĐT AM-GM thì $\frac{1}{2x} + x \ge \sqrt 2, \frac{1}{2y} + y \ge \sqrt 2, \frac{1}{2x}+ \dfrac{1}{2y} \ge \frac{4}{x+y} \ge \frac{2}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}= 2 \sqrt 2$.
Do đó $A \ge 4+3 \sqrt 2$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y= \frac{1}{ \sqrt 2}$.
Bạn làm gì ở dòng 2 mình ko hiểu
It is the quality of one's convictions that determines success, not the number of followers
#4
Đã gửi 17-10-2013 - 19:18
bachhammer
-
- Thành viên
-
- 659 Bài viết
Thiếu úy
Bạn làm gì ở dòng 2 mình ko hiểu
Để phù hợp với điểm rơi của bất đẳng thức AM - GM và cả điểm rơi của điều kiện đầu bài nên ta phải tách $\frac{1}{x}=\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}$...... Vậy thôi nhá! 
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 17-10-2013 - 19:18
- shinichikudo201 yêu thích
#5
Đã gửi 19-10-2013 - 21:07
lequocminh1999
-
- Thành viên
-
- 19 Bài viết
Binh nhì
Mình có bài này mong các bạn giải giùm:
Cho $x;y> 0$ và $x^{2}+y^{2}=1$. Tìm min của:
$(1+x)(1+\frac{1}{y})+(1+y)(1+\frac{1}{x})$
Mình đang học lớp 8 nhé.
Thanks.
$A= (\frac{x}{y}+\frac{y}{x})+(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y})+(x+\frac{1}{2x})+(y+\frac{1}{2y})+2$
Áp dụng bđt Côsi
$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geqslant 2$
$\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y} \geqslant \frac{4}{2(x+y)}$
$(x+y)^{2}\leqslant 2(x^{2}+y^{2})=2$
$x+y \leqslant \sqrt{2}$
$=> \frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}\geqslant \sqrt{2}$
=> $B\geqslant 4+3\sqrt{2}$
Dấu bằng xảy ra <=> x=y= 1/$\sqrt{2}$
$x+\frac{1}{2x} \geqslant \sqrt{2}$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
