Chủ đề này có 3 trả lời

[AnnieSally]

Tìm đa thức với hệ số thực $P(x)$ sao cho

$$\left\{\begin{matrix} P(x)=\sqrt{P(x^2+1)-33}+32 & \\ P(2005)=2037 & \end{matrix}\right.$$ 

với mọi $x\geq 0$

[Juliel]

Tìm đa thức với hệ số thực $P(x)$ sao cho

$$\left\{\begin{matrix} P(x)=\sqrt{P(x^2+1)-33}+32 \;\;(*)& \\ P(2005)=2037 & \end{matrix}\right.$$ 

với mọi $x\geq 0$

Thay $x=2005$ vào $(*)$

$$2037=P(2005)=\sqrt{P(2005^2+1)-33}+32\Leftrightarrow P(2005^2+1)-32=2005^2+1\Leftrightarrow P(x_1)=x_1+32\qquad(x_1=2005^2+1)$$

Thay $x = x_1$ vào $(*)$ :

$$P(x_1)=\sqrt{P(x_1^2+1)-33}+32\Leftrightarrow x_1+32=\sqrt{P(x_1^2+1)-33}+32\Leftrightarrow P(x_1^2+1)=(x_1^2+1)+32\Leftrightarrow P(x_2)=x_2+32\qquad(x_2=x_1^2+1)$$

Cứ tiếp tục như thế, ta thu được kết quả :

Đa thức $Q(x)=P(x)-x-32$ có vô hạn nghiệm, do đó $Q(x)=P(x)-x-32\equiv 0\Rightarrow P(x)\equiv x+32$.

Thử lại. Thỏa mãn

[thinhrost1]

Thay $x=2005$ vào $(*)$

$$2037=P(2005)=\sqrt{P(2005^2+1)-33}+32\Leftrightarrow P(2005^2+1)-32=2005^2+1\Leftrightarrow P(x_1)=x_1+32\qquad(x_1=2005^2+1)$$

Thay $x = x_1$ vào $(*)$ :

$$P(x_1)=\sqrt{P(x_1^2+1)-33}+32\Leftrightarrow x_1+32=\sqrt{P(x_1^2+1)-33}+32\Leftrightarrow P(x_1^2+1)=(x_1^2+1)+32\Leftrightarrow P(x_2)=x_2+32\qquad(x_2=x_1^2+1)$$

Cứ tiếp tục như thế, ta thu được kết quả :

Đa thức $Q(x)=P(x)-x-32$ có vô hạn nghiệm, do đó $Q(x)=P(x)-x-32\equiv 0\Rightarrow P(x)\equiv x+32$.

Thử lại. Thỏa mãn

Anh ơi cho hỏi hình như dấu $\equiv$ nên thay bằng dấu $=$ thì phải

[Juliel]

Anh ơi cho hỏi hình như dấu $\equiv$ nên thay bằng dấu $=$ thì phải

À nếu dấu bằng thì phải ghi thêm là với mọi $x$. Dấu đồng nhất thì ko cần phải ghi như vậy.