Tìm tất cả các hàm số $f:[1;+\infty) \to [1;+\infty)$ thoả mãn điều kiện
$$f(xf(y))=yf(x)$$ với mọi $$x,y \in [1;+\infty)$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 19-10-2013 - 14:58
Tìm tất cả các hàm số $f:[1;+\infty) \to [1;+\infty)$ thoả mãn điều kiện
$$f(xf(y))=yf(x)$$ với mọi $$x,y \in [1;+\infty)$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 19-10-2013 - 14:58
Tìm tất cả các hàm số $f:[1;+\infty) \to [1;+\infty)$ thoả mãn điều kiện
$$f(xf(y))=yf(x)$$ với mọi $$x,y \in [1;+\infty)$$
Cho $x=1$ có $f(f(y))=y f(1)\Rightarrow f$ song ánh.
Cho $y=1$ có $f(xf(1))=f(x)\Rightarrow f(1)=1\Rightarrow f(f(x))=x$
Giả sử $a>b$ thay $(x,y)$ bằng $(\dfrac{a}{b},f(b))$
Có $f(a)=f(\dfrac{a}{b}f(f(b)))=f(b)f(\dfrac{a}{b})>f(b)$
Vậy $f$ là hàm tăng. Nên:
Nếu $f(x)>x\Rightarrow f(f(x))>f(x)>x$ mâu thuẫn.
Nếu $f(x)<x\Rightarrow f(f(x))<f(x)<x$ mâu thuẫn.
$\Rightarrow f(x)=x,\forall x\in [1;+\infty)$
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh