Chủ đề này có 1 trả lời

[AnnieSally]

Tìm tất cả các hàm số $f:[1;+\infty) \to [1;+\infty)$ thoả mãn điều kiện

$$f(xf(y))=yf(x)$$ với mọi $$x,y \in [1;+\infty)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnnieSally: 19-10-2013 - 14:58

[Idie9xx]

Tìm tất cả các hàm số $f:[1;+\infty) \to [1;+\infty)$ thoả mãn điều kiện

$$f(xf(y))=yf(x)$$ với mọi $$x,y \in [1;+\infty)$$

Cho $x=1$ có $f(f(y))=y f(1)\Rightarrow f$ song ánh.

Cho $y=1$ có $f(xf(1))=f(x)\Rightarrow f(1)=1\Rightarrow f(f(x))=x$

Giả sử $a>b$ thay $(x,y)$ bằng $(\dfrac{a}{b},f(b))$

Có $f(a)=f(\dfrac{a}{b}f(f(b)))=f(b)f(\dfrac{a}{b})>f(b)$

Vậy $f$ là hàm tăng. Nên:

Nếu $f(x)>x\Rightarrow f(f(x))>f(x)>x$ mâu thuẫn.

Nếu $f(x)<x\Rightarrow f(f(x))<f(x)<x$ mâu thuẫn.

$\Rightarrow f(x)=x,\forall x\in [1;+\infty)$