Chủ đề này có 4 trả lời

[trandinhhuy]

1) Tìm nghiệm nguyên dương của pt : $x+y+z+t=xyzt$    

2) Tìm 3 số tự nhiên biết tổng nghịch đảo của chúng bằng 1 

3)CMR $X^2+Y^2=4m+3$ không có nghiệm nguyên với $m$ nguyên

[nguyentrungphuc26041999]

1) Tìm nghiệm nguyên dương của pt : $x+y+z+t=xyzt$    

2) Tìm 3 số tự nhiên biết tổng nghịch đảo của chúng bằng 1 

3)CMR $X^2+Y^2=4m+3$ không có nghiệm nguyên với $m$ nguyên

câu 1 theo pt thấy x=y=z=t=0 là nghiệm

giả sử $x\geq y\geq z\geq t$

ta có $1=\frac{1}{xyz}+\frac{1}{yzt}+\frac{1}{ztx}+\frac{1}{xyt}\leq \frac{4}{x^{3}}$

$\Rightarrow x^{3}\leq 4$

$\Rightarrow x=1$

mà là nghiệm nguyên dương nên x=y=z=t=1

thử lại sai 

vậy nghiệm $x=y=z=t=0$

[Phuong Thu Quoc]

1) Tìm nghiệm nguyên dương của pt : $x+y+z+t=xyzt$    

2) Tìm 3 số tự nhiên biết tổng nghịch đảo của chúng bằng 1 

3)CMR $X^2+Y^2=4m+3$ không có nghiệm nguyên với $m$ nguyên

3/ Ta dễ dàng chứng minh kết quả : 1 số chính phương khi chia cho 4 chỉ có các số dư là 0 và 1

AD kết quả trên 

Giả sử phương trình trên có nghiệm nguyên

Khi đó có VT =$X^{2}+Y^{2}$. Vì $X^{2} , Y^{2}\equiv 0 hoặc \equiv 1\left ( mod 4 \right )$ nên VT $\equiv 0 hoặc \equiv 1 hoặc \equiv 2(mod 4)$

Trong khi đó VP =4m+3 $\equiv$ 3(mod 4)

Từ đó dẫn tới điều vô lí

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Thu Quoc: 21-10-2013 - 15:07

[PT42]

Bài 2 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$

Vì vai trò của x, y, z bình đẳng nên có thể giả sử $x \leq y \leq z$

$\Rightarrow 1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \leq \frac{3}{x}$

$\Rightarrow x \leq 3$ $\Rightarrow$ x = 1, 2 hoặc 3.

 

- Nếu x = 1 thì $\frac{1}{y} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} = 0$ (loại vì y, z > 0)

 

- Nếu x = 2 thì $\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \frac{1}{2} \leq \frac{2}{y}$ $\Rightarrow y \leq 4$. Mà $\Rightarrow y \geq x = 2$ nên y = 2, 3 hoặc 4

$\Rightarrow$ (x, y, z) = (2, 3, 6) hoặc (2, 4, 4)

 

- Nếu x = 3 thì $1 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \leq \frac{3}{x} = 1$

$\Rightarrow x = y = z = 3$

 

Vậy (x, y, z) = (3, 3, 3), (2, 3, 6), (2, 4, 4) và các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 20-10-2013 - 11:08

[PT42]

Bài 1 Vì vai trò của x, y, z, t bình đẳng nên có thể giả sử $1 \leq x \leq y \leq z \leq t$

$\Rightarrow 1 = \frac{1}{xyz} + \frac{1}{yzt} + \frac{1}{ztx} + \frac{1}{txy} \leq \frac{4}{x^{3}}$

$\Rightarrow$ $x^{3} \leq 4$ $\Rightarrow x = 1$

$\Rightarrow 1 = \frac{1}{yzt} + \frac{1}{yz} + \frac{1}{zt} + \frac{1}{ty} \leq \frac{1}{y^{3}} + \frac{3}{y^{2}}$

$\Rightarrow y^{3} - 3y - 1 \leq 0$

$\Rightarrow (y - 2)(y + 1)^{2} + 1 \leq 0$

$\Rightarrow y \leq 2$ $\Rightarrow$ y = 1 hoặc y = 2.

 

- Nếu x = y = 1 thì z + t + 2 = zt 

$\Rightarrow 1 = \frac{2}{zt} + \frac{1}{z} + \frac{1}{t} \leq \frac{2}{z^{2}} + \frac{2}{z}$

$\Rightarrow z^{2} - 2z - 2 \leq 0$

$\Rightarrow z(z - 2) \leq 2$. Mà z nguyên dương nên suy ra z = 1 hoặc z = 2.

z = 1 thì 3 + t = t $\Rightarrow$ t = 0 (loại)

z = 2 thì 4 + t = 2t $\Rightarrow$ t = 4 (thỏa mãn)

 

- Nếu x = 1, y = 2 thì z + t + 3 =2zt

$\Rightarrow 2 = \frac{1}{z} + \frac{1}{t} + \frac{3}{zt} \leq \frac{2}{z} + \frac{3}{z^{2}}$

$\Rightarrow 2z^{2} - 2z = 2z(z - 1)\leq 3$

Mà $z \geq y = 2$ nên $2z(z - 1) \geq 2.2.1 > 3$ nên không tồn tại z thỏa mãn.

 

Vậy (x, y, z, t) = (1, 1, 2, 4) và các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 20-10-2013 - 12:03