Chủ đề này có 1 trả lời

[truongnhatlevan]

Góp vui:Chứng minh rằng:

$\frac{27}{4}(x+y)(y+z)(z+x)\geq (\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+{\sqrt{z+x}})^{2}$

 với mọi $x,y,z> 0;xy+yz+zx=1$

 

 

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truongnhatlevan: 21-10-2013 - 20:24

[25 minutes]

 

Góp vui:Chứng minh rằng:

$\frac{27}{4}(x+y)(y+z)(z+x)\geq (\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+{\sqrt{z+x}})^{2}$

 với mọi $x,y,z> 0;xy+yz+zx=1$

Sử dụng bất đảng thức cơ bản sau $(x+y)(y+z)(z+x)\geqslant \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+zx)=\frac{8}{9}(x+y+z)$

               $\Rightarrow \frac{27}{4}(x+y)(y+z)(z+x)\geqslant 6(x+y+z)$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $6(x+y+z)\geqslant (\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x})^2$

Chuyển $(\sqrt{x+y},...)\rightarrow (a,b,c)$, ta được bất đằng thức tương đương

                       $3(a^2+b^2+c^2) \geqslant (a+b+c)^2$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$