Chủ đề này có 6 trả lời

[giatuan]

Tình hình là do em đang học các cách chứng mình toán học cơ bản nên em đang đọc Chap1.7 của cuốn Discrete Mathematics and Its Application của Kenneth. Em đang làm cái bài tập bằng phương pháp phản chứng ( proof by contradiction ) ạ .

Bài tập: Nếu n là số nguyên( khác 0 ) và n là số chính phương , thì n+2 không phải là số chính phương !

 

Em chứng minh thế này nhưng rất kì cục , mọi người góp ý dùm em :

Giả sử n là số chính phương , tức tồn tại a sao cho $a \in N$ và a²=n

Giả sử n+2 là số chính phương , tức tồn tại b sao cho $b \in N$ và b²=n+2

 

Ta có n=b²-2=a²  $\Leftrightarrow$  b²-a²=2 .

Vì   $a,b \in N$ nên   b>a , vậy b=a+x ,  với $x \in N$

Thay b=a+x vào b²-a²=2 , ta có b²-a²=2ax+x²=2.

Đến đây ta có mâu thuẫn do không tồn tại a và x  sao cho 2ax+x²=2 vì Min (2ax+x² )=3 với a=1 và x=1. Đến đây thì em thấy lập luận của em quá lỏng lẻo đoạn Min , mọi người thấy em phải lý luận như thế nào cho nên ? Và hướng khác đẹp hơn để chứng minh cho bài này ạ.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi giatuan: 21-10-2013 - 23:26

[chanhquocnghiem]

Tình hình là do em đang học các cách chứng mình toán học cơ bản nên em đang đọc Chap1.7 của cuốn Discrete Mathematics and Its Application của Kenneth. Em đang làm cái bài tập bằng phương pháp phản chứng ( proof by contradiction ) ạ .

Bài tập: Nếu n là số nguyên( khác 0 ) và n là số chính phương , thì n+2 không phải là số chính phương !

 

Em chứng minh thế này nhưng rất kì cục , mọi người góp ý dùm em :

Giả sử n là số chính phương , tức tồn tại a sao cho $a \in N$ và a²=n

Giả sử n+2 là số chính phương , tức tồn tại b sao cho $b \in N$ và b²=n+2

 

Ta có n=b²-2=a²  $\Leftrightarrow$  b²-a²=2 .

Vì   $a,b \in N$ nên   b>a , vậy b=a+x ,  với $x \in N$

Thay b=a+x vào b²-a²=2 , ta có b²-a²=2ax+x²=2.

Đến đây ta có mâu thuẫn do không tồn tại a và x  sao cho 2ax+x²=2 vì Min (2ax+x² )=3 với a=1 và x=1. Đến đây thì em thấy lập luận của em quá lỏng lẻo đoạn Min , mọi người thấy em phải lý luận như thế nào cho nên ? Và hướng khác đẹp hơn để chứng minh cho bài này ạ.

Lập luận như thế cũng được, nhưng để chặt chẽ hơn thì

Dòng đầu tiên nên sửa là : Giả sử $n$ là số chính phương khác $0$, tức tồn tại $a\in N^{+}$ sao cho $a^2=n$

Chỗ b = a+x, với $x\in N$ nên sửa thành $x\in N^{+}$ (vì $b> a$)

Và ở đoạn dưới : $b^2-a^2=2ax+x^2=x(2a+x)\geqslant 1.(2.1+1)=3$

 

Cách khác :

Giả sử $n$ và $n+2$là số chính phương ($n\neq 0$) ---> $n=a^2$ ; $n+2=b^2$ ($a,b\in N^{+}$)

---> $b^2-a^2=2$ ---> $(b+a)(b-a)=2.1$ ---> $b+a=2;b-a=1$ ---> $b=\frac{3}{2};a=\frac{1}{2}$ (vô lý vì $a,b\in N^+$)

---> Điều giả sử sai ---> Không tồn tại $n$ và $n+2$ cùng là số chính phương, với mọi $n\in N^+$ (thực ra điều đó cũng cũng đúng với mọi $n\in N$)

[giatuan]

Lập luận như thế cũng được, nhưng để chặt chẽ hơn thì

Dòng đầu tiên nên sửa là : Giả sử $n$ là số chính phương khác $0$, tức tồn tại $a\in N^{+}$ sao cho $a^2=n$

Chỗ b = a+x, với $x\in N$ nên sửa thành $x\in N^{+}$ (vì $b> a$)

Và ở đoạn dưới : $b^2-a^2=2ax+x^2=x(2a+x)\geqslant 1.(2.1+1)=3$

 

Cách khác :

Giả sử $n$ và $n+2$là số chính phương ($n\neq 0$) ---> $n=a^2$ ; $n+2=b^2$ ($a,b\in N^{+}$)

---> $b^2-a^2=2$ ---> $(b+a)(b-a)=2.1$ ---> $b+a=2;b-a=1$ ---> $b=\frac{3}{2};a=\frac{1}{2}$ (vô lý vì $a,b\in N^+$)

---> Điều giả sử sai ---> Không tồn tại $n$ và $n+2$ cùng là số chính phương, với mọi $n\in N^+$ (thực ra điều đó cũng cũng đúng với mọi $n\in N$)

Có cách nào chứng minh phương trình  b² - a² không có nghiệm nguyên không mọi người ?

[chanhquocnghiem]

Có cách nào chứng minh phương trình  b² - a² không có nghiệm nguyên không mọi người ?

Giả sử phương trình $b^2-a^2=2$ (1) có nghiệm $(a;b)$ trong đó $a,b\in Z$

$a,b\in Z\rightarrow a+b\in Z;a-b\in Z$

(1) ---> $(a+b)(a-b)=2.1=1.2=(-1).(-2)=(-2).(-1)$

Vì $a+b$ và $a-b$ đều thuộc $Z$ nên chỉ có $4$ trường hợp :

a) $a+b=2;a-b=1$

b) $a+b=1;a-b=2$

c) $a+b=-1;a-b=-2$

d) $a+b=-2;a-b=-1$

Cả $4$ trường hợp đều mâu thuẫn với giả thiết ($a,b\in Z$)

---> pt (1) không có nghiệm nguyên.

[giatuan]

vâng em đã hiểu , cám ơn chanhquocnghiem nhiều nhé 

[giatuan]

Giả sử phương trình $b^2-a^2=2$ (1) có nghiệm $(a;b)$ trong đó $a,b\in Z$

$a,b\in Z\rightarrow a+b\in Z;a-b\in Z$

(1) ---> $(a+b)(a-b)=2.1=1.2=(-1).(-2)=(-2).(-1)$

Vì $a+b$ và $a-b$ đều thuộc $Z$ nên chỉ có $4$ trường hợp :

a) $a+b=2;a-b=1$

b) $a+b=1;a-b=2$

c) $a+b=-1;a-b=-2$

d) $a+b=-2;a-b=-1$

Cả $4$ trường hợp đều mâu thuẫn với giả thiết ($a,b\in Z$)

---> pt (1) không có nghiệm nguyên.

Cho em hỏi thêm tí nhé , cái em vừa hỏi thì người ta xem nó thuộc lĩnh vực nào , là thuộc phương trình nghiệm phải không?
Cũng như hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn $\left\{\begin{matrix} ax & + & by = c\\ ux &+ &vy =z \end{matrix}\right.$  , em muốn chứng minh chỉ có tồn tại một cặp nghiệm (x,y) duy nhất thõa mãn thì em nên đọc cái sách nào , thuộc linh vực nào ( đại số tuyến tính , số học...? ) ạ ?

[chanhquocnghiem]

Cho em hỏi thêm tí nhé , cái em vừa hỏi thì người ta xem nó thuộc lĩnh vực nào , là thuộc phương trình nghiệm phải không?
Cũng như hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn $\left\{\begin{matrix} ax & + & by = c\\ ux &+ &vy =z \end{matrix}\right.$  , em muốn chứng minh chỉ có tồn tại một cặp nghiệm (x,y) duy nhất thõa mãn thì em nên đọc cái sách nào , thuộc linh vực nào ( đại số tuyến tính , số học...? ) ạ ?

Các bài toán có liên quan đến số chính phương thì thuộc về Số học.

Còn hệ phương trình thì thuộc về Đại số.

Tuy nhiên, trong Toán học cũng không có sự phân định rạch ròi giữa các lĩnh vực.

Chẳng hạn về số nghiệm của phương trình bậc nhất 2 ẩn thì có thể thấy trong các sách Đại số, Giải tích hoặc Hình học giải tích.