1. Giải phương trình nghiệm tự nhiên $x;y$ thỏa:
$$2011^x+1=2012^y$$
2. Tìm nghiệm nguyên của pt:
$$x^4-2y^2=1$$
1. Giải phương trình nghiệm tự nhiên $x;y$ thỏa:
$$2011^x+1=2012^y$$
2. Tìm nghiệm nguyên của pt:
$$x^4-2y^2=1$$
1. Giải phương trình nghiệm tự nhiên $x;y$ thỏa:
$$2011^x+1=2012^y$$
Nhận thấy $y>0$
Nếu $y=1$ suy ra $x=1$
Nếu : $y\geq 2\Rightarrow 8|2012^{y}$
Xét $x=2k$
$2011^{x}\equiv 3^{2k}\equiv 1(mod8)\Rightarrow (2011^{x}+1)\equiv 2(mod8)$
Xét $x=2k+1$
$2011^{x}\equiv 3^{2k+1}\equiv 9^{k}.3(mod8)\equiv 3\Rightarrow (2011^{x}+1)\equiv 4(mod8)$
Suy ra : $2011^{x}+1\neq 2012^{y}$
Vậy $PT$ chỉ có nghiệm : $(x;y)\in (1;1)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 22-10-2013 - 21:47
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
1. Giải phương trình nghiệm tự nhiên $x;y$ thỏa:
$$2011^x+1=2012^y$$
2. Tìm nghiệm nguyên của pt:
$$x^4-2y^2=1$$
2/ $x^{4}=2y^{2}+1\Rightarrow (2y)^{2}< 4x^{4}=4y^{2}+4<4y^{2}+4y+1=(2y+1)^{2}$
=> Vô nghiệm
2/ $x^{4}=2y^{2}+1\Rightarrow (2y)^{2}< 4x^{4}=4y^{2}+4<4y^{2}+4y+1=(2y+1)^{2}$
=> Vô nghiệm
Hiểu ý tưởng của bác nhưng cái chỗ kia bác bị nhầm rồi, $x^4=8y^2+4$ chứ không phải $x^4=4y^2+4$.
Ờ có lẽ mình nhầm .
Lời giải :
Dễ thấy $2\nmid x \implies x=2k+1$ với $k\in \mathbb N$ $\implies 8\,{k}^{4}+16\,{k}^{3}+12\,{k}^{2}+4\,k={y}^{2}$ $\iff 4\,k \left( k+1 \right) \left( 2\,{k}^{2}+2\,k+1 \right) = y^2$ $\implies k\left( k+1 \right) \left( 2\,{k}^{2}+2\,k+1 \right)$ là số chính phương Mà $gcd \, \left( {k}^{2}+k , 2\,{k}^{2}+2\,k+1 \right) = 1$ $\implies k(k+1)$ là số chính phương $\implies k = 0 \implies x=1 \implies y = 0\implies$ loại
Vô nghiệm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 22-10-2013 - 22:29
Ờ có lẽ mình nhầm .
Lời giải :
Dễ thấy $2\nmid x \implies x=2k+1$ với $k\in \mathbb N$ $\implies 8\,{k}^{4}+16\,{k}^{3}+12\,{k}^{2}+4\,k={y}^{2}$ $\iff 4\,k \left( k+1 \right) \left( 2\,{k}^{2}+2\,k+1 \right) = y^2$ $\implies k\left( k+1 \right) \left( 2\,{k}^{2}+2\,k+1 \right)$ là số chính phương Mà $gcd \, \left( {k}^{2}+k , 2\,{k}^{2}+2\,k+1 \right) = 1$ $\implies k(k+1)$ là số chính phương $\implies k = 0 \implies x=1 \implies y = 0\implies$ loại
Vô nghiệm
Tại sao từ chỗ $\gcd(k^2+k, k^2+k+1)=1$ có thể suy ra $k(k+1)$ là số cp nhỉ.
Tại sao từ chỗ $\gcd(k^2+k, k^2+k+1)=1$ có thể suy ra $k(k+1)$ là số cp nhỉ.
Nếu $a.b$ là số chính phương mà $(a,b)=1$ thì a,b là số chính phương .
Nếu $a.b$ là số chính phương mà $(a,b)=1$ thì a,b là số chính phương .
Thế thì cả $k^2+k+1$ cũng phải là số cp nữa chứ...
Thế thì cả $k^2+k+1$ cũng phải là số cp nữa chứ...
Dĩ nhiên là $k^2+2k+1$ cũng là số chính phương nhưng ở đây ta nói $k(k+1)$ là số chinh phương để suy ra $k=0$ từ tính chất nếu tích 2 số tự nhiên liên tiếp là số chính phương thì sẽ có 1 số bằng $0$ . Giờ được rồi chứ bạn ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 23-10-2013 - 17:23
1. Giải phương trình nghiệm tự nhiên $x;y$ thỏa:
$$2011^x+1=2012^y$$
2. Tìm nghiệm nguyên của pt:
$$x^4-2y^2=1$$
2) Đề bài là " Tìm nghiệm nguyên " mà ! (sao sieusieu90 lại nói là vô nghiệm nhỉ ?)
Dễ thấy x lẻ ---> $x=2k+1$ ($k\in Z$)
---> $(2k+1)^4=2y^2+1\rightarrow 8k^4+16k^3+12k^2+4k=y^2$ ---> $4k(k+1)(2k^2+2k+1)=y^2\rightarrow k(k+1)$ là số chính phương
---> $k=0$ hoặc $k=-1$
$a)$ $k=0\rightarrow x=1;y=0$
$b)$ $k=-1\rightarrow x=-1;y=0$
Phương trình có $2$ nghiệm nguyên như đã kể trên.
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
2) Đề bài là " Tìm nghiệm nguyên " mà ! (sao sieusieu90 lại nói là vô nghiệm nhỉ ?)
Dễ thấy x lẻ ---> $x=2k+1$ ($k\in Z$)
---> $(2k+1)^4=2y^2+1\rightarrow 8k^4+16k^3+12k^2+4k=y^2$ ---> $4k(k+1)(2k^2+2k+1)=y^2\rightarrow k(k+1)$ là số chính phương
---> $k=0$ hoặc $k=-1$
$a)$ $k=0\rightarrow x=1;y=0$
$b)$ $k=-1\rightarrow x=-1;y=0$
Phương trình có $2$ nghiệm nguyên như đã kể trên.
À đề là nghiệm nguyên mà mình nhầm là nghiệm nguyên dương nên loại 2 trường hợp đó chưa xét ,. Bạn lovemath99 sửa lại nhé , mình nhầm , mong các bạn thông cảm !
Dĩ nhiên là $k^2+2k+1$ cũng là số chính phương nhưng ở đây ta nói $k(k+1)$ là số chinh phương để suy ra $k=0$ từ tính chất nếu tích 2 số tự nhiên liên tiếp là số chính phương thì sẽ có 1 số bằng $0$ . Giờ được rồi chứ bạn ?
Mà ở đây $2k^2+2k+1$ chứ đâu phải $k^2+2k+1$ đâu mà nó hiển nhiên cp dc nhỉ...
Mà ở đây $2k^2+2k+1$ chứ đâu phải $k^2+2k+1$ đâu mà nó hiển nhiên cp dc nhỉ...
Bạn hiểu nhầm rồi $k(k+1)(2k^2+2k+1)$ là số chính phương thì suy ra $k^2+1$ và $2k^2+2k+1$ đều là số chính phương do $UCLN$ của chúng là $1$
Cái này thì mình biết chứ khúc trước tại tưởng bạn chỉ xét th $k(k+1)$ là số cp nên mình mới thắc mắc vậy
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh