Chủ đề này có 13 trả lời

[lovemath99]

1. Giải phương trình nghiệm tự nhiên $x;y$ thỏa:

$$2011^x+1=2012^y$$

2. Tìm nghiệm nguyên của pt:

$$x^4-2y^2=1$$

[letankhang]

1. Giải phương trình nghiệm tự nhiên $x;y$ thỏa:

$$2011^x+1=2012^y$$

 

Nhận thấy $y>0$

Nếu $y=1$ suy ra $x=1$

Nếu : $y\geq 2\Rightarrow 8|2012^{y}$

Xét $x=2k$ 

$2011^{x}\equiv 3^{2k}\equiv 1(mod8)\Rightarrow (2011^{x}+1)\equiv 2(mod8)$

Xét $x=2k+1$

$2011^{x}\equiv 3^{2k+1}\equiv 9^{k}.3(mod8)\equiv 3\Rightarrow (2011^{x}+1)\equiv 4(mod8)$

Suy ra : $2011^{x}+1\neq 2012^{y}$

Vậy $PT$ chỉ có nghiệm : $(x;y)\in (1;1)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 22-10-2013 - 21:47

[Near Ryuzaki]

1. Giải phương trình nghiệm tự nhiên $x;y$ thỏa:

$$2011^x+1=2012^y$$

2. Tìm nghiệm nguyên của pt:

$$x^4-2y^2=1$$

2/ $x^{4}=2y^{2}+1\Rightarrow (2y)^{2}< 4x^{4}=4y^{2}+4<4y^{2}+4y+1=(2y+1)^{2}$

=> Vô nghiệm

[lovemath99]

2/ $x^{4}=2y^{2}+1\Rightarrow (2y)^{2}< 4x^{4}=4y^{2}+4<4y^{2}+4y+1=(2y+1)^{2}$

=> Vô nghiệm

 

Hiểu ý tưởng của bác nhưng cái chỗ kia bác bị nhầm rồi, $x^4=8y^2+4$ chứ không phải $x^4=4y^2+4$.

[Near Ryuzaki]

Ờ có lẽ mình nhầm . 

Lời giải :

Dễ thấy $2\nmid x \implies x=2k+1$ với $k\in \mathbb N$ $\implies 8\,{k}^{4}+16\,{k}^{3}+12\,{k}^{2}+4\,k={y}^{2}$ $\iff 4\,k \left( k+1 \right) \left( 2\,{k}^{2}+2\,k+1 \right) = y^2$ $\implies k\left( k+1 \right) \left( 2\,{k}^{2}+2\,k+1 \right)$ là số chính phương Mà $gcd \, \left( {k}^{2}+k , 2\,{k}^{2}+2\,k+1 \right) = 1$ $\implies k(k+1)$ là số chính phương $\implies k = 0 \implies x=1 \implies y = 0\implies$ loại

Vô nghiệm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 22-10-2013 - 22:29

[lovemath99]

Ờ có lẽ mình nhầm . 

Lời giải :

Dễ thấy $2\nmid x \implies x=2k+1$ với $k\in \mathbb N$ $\implies 8\,{k}^{4}+16\,{k}^{3}+12\,{k}^{2}+4\,k={y}^{2}$ $\iff 4\,k \left( k+1 \right) \left( 2\,{k}^{2}+2\,k+1 \right) = y^2$ $\implies k\left( k+1 \right) \left( 2\,{k}^{2}+2\,k+1 \right)$ là số chính phương Mà $gcd \, \left( {k}^{2}+k , 2\,{k}^{2}+2\,k+1 \right) = 1$ $\implies k(k+1)$ là số chính phương $\implies k = 0 \implies x=1 \implies y = 0\implies$ loại

Vô nghiệm

 

Tại sao từ chỗ $\gcd(k^2+k, k^2+k+1)=1$ có thể suy ra $k(k+1)$ là số cp nhỉ.
 

[Near Ryuzaki]

Tại sao từ chỗ $\gcd(k^2+k, k^2+k+1)=1$ có thể suy ra $k(k+1)$ là số cp nhỉ.
 

Nếu $a.b$ là số chính phương mà $(a,b)=1$ thì a,b là số chính phương . 

[lovemath99]

Nếu $a.b$ là số chính phương mà $(a,b)=1$ thì a,b là số chính phương . 

Thế thì cả $k^2+k+1$ cũng phải là số cp nữa chứ...

[Near Ryuzaki]

Thế thì cả $k^2+k+1$ cũng phải là số cp nữa chứ...

Dĩ nhiên là $k^2+2k+1$ cũng là số chính phương nhưng ở đây ta nói $k(k+1)$ là số chinh phương để suy ra $k=0$ từ tính chất nếu tích 2 số tự nhiên liên tiếp là số chính phương thì sẽ có 1 số bằng $0$ . Giờ được rồi chứ bạn ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 23-10-2013 - 17:23

[chanhquocnghiem]

1. Giải phương trình nghiệm tự nhiên $x;y$ thỏa:

$$2011^x+1=2012^y$$

2. Tìm nghiệm nguyên của pt:

$$x^4-2y^2=1$$

2) Đề bài là " Tìm nghiệm nguyên " mà ! (sao sieusieu90 lại nói là vô nghiệm nhỉ ?)

Dễ thấy x lẻ ---> $x=2k+1$ ($k\in Z$)

---> $(2k+1)^4=2y^2+1\rightarrow 8k^4+16k^3+12k^2+4k=y^2$ ---> $4k(k+1)(2k^2+2k+1)=y^2\rightarrow k(k+1)$ là số chính phương

---> $k=0$ hoặc $k=-1$

$a)$ $k=0\rightarrow x=1;y=0$

$b)$ $k=-1\rightarrow x=-1;y=0$

Phương trình có $2$ nghiệm nguyên như đã kể trên.

[Near Ryuzaki]

2) Đề bài là " Tìm nghiệm nguyên " mà ! (sao sieusieu90 lại nói là vô nghiệm nhỉ ?)

Dễ thấy x lẻ ---> $x=2k+1$ ($k\in Z$)

---> $(2k+1)^4=2y^2+1\rightarrow 8k^4+16k^3+12k^2+4k=y^2$ ---> $4k(k+1)(2k^2+2k+1)=y^2\rightarrow k(k+1)$ là số chính phương

---> $k=0$ hoặc $k=-1$

$a)$ $k=0\rightarrow x=1;y=0$

$b)$ $k=-1\rightarrow x=-1;y=0$

Phương trình có $2$ nghiệm nguyên như đã kể trên.

À đề là nghiệm nguyên mà mình nhầm là nghiệm nguyên dương nên loại 2 trường hợp đó chưa xét ,. Bạn lovemath99 sửa lại nhé , mình nhầm , mong các bạn thông cảm !   

[lovemath99]

Dĩ nhiên là $k^2+2k+1$ cũng là số chính phương nhưng ở đây ta nói $k(k+1)$ là số chinh phương để suy ra $k=0$ từ tính chất nếu tích 2 số tự nhiên liên tiếp là số chính phương thì sẽ có 1 số bằng $0$ . Giờ được rồi chứ bạn ?

 

Mà ở đây $2k^2+2k+1$ chứ đâu phải $k^2+2k+1$ đâu mà nó hiển nhiên cp dc nhỉ...
 

[Near Ryuzaki]

Mà ở đây $2k^2+2k+1$ chứ đâu phải $k^2+2k+1$ đâu mà nó hiển nhiên cp dc nhỉ...
 

Bạn hiểu nhầm rồi $k(k+1)(2k^2+2k+1)$ là số chính phương thì suy ra $k^2+1$ và $2k^2+2k+1$ đều là số chính phương do $UCLN$ của chúng là $1$

[lovemath99]

Cái này thì mình biết chứ khúc trước tại tưởng bạn chỉ xét th $k(k+1)$ là số cp nên mình mới thắc mắc vậy