Chủ đề này có 7 trả lời

[haitienbg]

Cho $x, $y, $z $> 0. CMR

$\frac{2x^2+xy}{y+\sqrt{zx}+z}+\frac{2y^2+yz}{z+\sqrt{xy}+x}+\frac{2z^2+zx}{x+\sqrt{yz}+y}\geq 1$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi haitienbg: 25-10-2013 - 22:00

[25 minutes]

Cho $x, $y, $z $> 0. CMR

$\frac{2x^2+xy}{y+\sqrt{zx}+z}+\frac{2y^2+yz}{z+\sqrt{xy}+x}+\frac{2z^2+zx}{x+\sqrt{yz}+y}\geq 1$

BĐT không đồng bậc không có điều kiện ắt sẽ có vấn đề.

Có thể cho $x=y=z=\frac{1}{4}$ bất đẳng thức sai 

[haitienbg]

Cho $x, $y, $z $> 0. CMR

$\frac{2x^2+xy}{y+\sqrt{zx}+z}+\frac{2y^2+yz}{z+\sqrt{xy}+x}+\frac{2z^2+zx}{x+\sqrt{yz}+y}\geq 1$

Xin lỗi. BĐT đúng như sau:

Cho $x, $y, $z $> 0. CMR

$\frac{2x^2+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^2}+\frac{2y^2+yz}{(z+\sqrt{xy}+x)^2}+\frac{2z^2+zx}{(x+\sqrt{yz}+y)^2}\geq 1$

[kfcchicken98]

Xin lỗi. BĐT đúng như sau:

Cho $x, $y, $z $> 0. CMR

$\frac{2x^2+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^2}+\frac{2y^2+yz}{(z+\sqrt{xy}+x)^2}+\frac{2z^2+zx}{(x+\sqrt{yz}+y)^2}\geq 1$

x,y,z >0 nhưng khi thay $x=y=z=\frac{1}{4}$ thì vẫn sai, điều kiện ở đây liên quan đến khoảng giá trị của x,y,z, tức là $x+y+z=10$ chẳng hạn 

[haitienbg]

x,y,z >0 nhưng khi thay $x=y=z=\frac{1}{4}$ thì vẫn sai, điều kiện ở đây liên quan đến khoảng giá trị của x,y,z, tức là $x+y+z=10$ chẳng hạn 

Sao lại thế...Cho $x=y=z$ ta được $VT=1$ mà

[tim1nuathatlac]

Cho $x, $y, $z $> 0. CMR

$\frac{2x^2+xy}{y+\sqrt{zx}+z}+\frac{2y^2+yz}{z+\sqrt{xy}+x}+\frac{2z^2+zx}{x+\sqrt{yz}+y}\geq 1$

 

Xin lỗi. BĐT đúng như sau:

Cho $x, $y, $z $> 0. CMR

$\frac{2x^2+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^2}+\frac{2y^2+yz}{(z+\sqrt{xy}+x)^2}+\frac{2z^2+zx}{(x+\sqrt{yz}+y)^2}\geq 1$

 

Ta có:

 

$\left ( y+\sqrt{xz}+z \right )^{2}\leq ^{C-S}\left ( y+x+x \right )\left ( y+z+\frac{z^{2}}{x} \right )=\frac{\left ( 2x^{2}+xy \right )\left ( xy+xz+z^{2} \right )}{x^{2}}$

 

Tương tự.

 

$\Rightarrow VT\geq \sum \frac{x^{2}}{xy+xz+z^{2}}\geq 1\square$

[Dao Van Chanh]

Ta có:

 

$\left ( y+\sqrt{xz}+z \right )^{2}\leq ^{C-S}\left ( y+x+x \right )\left ( y+z+\frac{z^{2}}{x} \right )=\frac{\left ( 2x^{2}+xy \right )\left ( xy+xz+z^{2} \right )}{x^{2}}$

 

Tương tự.

 

$\Rightarrow VT\geq \sum \frac{x^{2}}{xy+xz+z^{2}}\geq 1\square$

Vì sao $\Rightarrow VT\geq \sum \frac{x^{2}}{xy+xz+z^{2}}\geq 1\square$ ???

[lahantaithe99]

Vì sao $\Rightarrow VT\geq \sum \frac{x^{2}}{xy+xz+z^{2}}\geq 1\square$ ???

Áp dụng bđt SVac xơ

$\sum \frac{x^2}{xy+xz+z^2}\geq \frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+zx)+x^2+y^2+z^2}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2}=1$