Chủ đề này có 2 trả lời

[MrJokerWTF]

1. Cho a,b,c,d $>$0 . Cm $\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} + \frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{d}}\leq \frac{1}{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d}}$
2. x,y $>$0 . CM : $\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{(y+1)^{^{2}}}\geq \frac{1}{1+xy}$

[Tsubasa]

$\left ( 1+x \right )^2 = (1+\sqrt {xy}.\frac{\sqrt x}{\sqrt y})^2\leqslant (1+xy)(1+\frac{x}{y})$

 

$\Rightarrow \frac{1}{( 1+x)^2}\geqslant \frac{y}{(1+xy)(x+y)} (1)$

 

Tương tự: $\frac{1}{( 1+y)^2}\geqslant \frac{x}{(1+xy)(x+y)} (2)$

 

Cộng (1) và (2) theo vế => đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tsubasa: 25-10-2013 - 23:53

[KietLW9]

2. x,y $>$0 . CM : $\frac{1}{(x+1)^{2}}+\frac{1}{(y+1)^{^{2}}}\geq \frac{1}{1+xy}$

Xét: $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}-\frac{1}{1+xy}=\frac{xy^3+x^3y-x^2y^2-2xy+1}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}$

Ta cần chứng minh: $\frac{xy^3+x^3y-x^2y^2-2xy+1}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}\geqslant 0$

Thật vậy, áp dụng Cauchy ta có: $\frac{xy^3+x^3y-x^2y^2-2xy+1}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}\geqslant \frac{2x^2y^2-x^2y^2-2xy+1}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}=\frac{(xy-1)^2}{(1+x)^2(1+y)^2(1+xy)}\geqslant 0$

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1