Cho các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$ . Chứng minh rằng
$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangmanhquan: 06-11-2013 - 21:25
$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$
Bắt đầu bởi hoangmanhquan, 03-11-2013 - 04:53
#1
Đã gửi 03-11-2013 - 04:53
hoangmanhquan
-
- Thành viên
-
- 641 Bài viết
Thiếu úy
Sống là cho, đâu chỉ nhận riêng mình
#2
Đã gửi 07-05-2021 - 15:14
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Cho các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$ . Chứng minh rằng
$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$
Ta có: $\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1-c^2+ab}}=\frac{ab+2c^2}{\sqrt{(ab+2c^2)(1-c^2+ab)}}\geqslant \frac{ab+2c^2}{\frac{(ab+2c^2)+(1-c^2+ab)}{2}}=\frac{2(ab+2c^2)}{c^2+2ab+1}=\frac{2(ab+2c^2)}{c^2+2ab+a^2+b^2+c^2}=\frac{2(ab+2c^2)}{(a+b)^2+2c^2}\geqslant\frac{2(ab+2c^2)}{2(a^2+b^2)+2z^2}=ab+2c^2$
Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{1-c^2+ab}}\geqslant ab+bc+ca+2(a^2+b^2+c^2)=ab+bc+ca+2(Q.E.D)$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
