Chủ đề này có 1 trả lời

[Juliel]

Tìm nghiệm nguyên :

$$x^{2002}+x^{2002}=2003^{3002}(x^6+y^6)$$

[Zaraki]

Tìm nghiệm nguyên :

$$x^{2002}+x^{2002}=2003^{3002}(x^6+y^6) \qquad (1)$$

Lời giải. Ta có bổ đề.

Bổ đề. Cho $a,b$ là hai số nguyên và $p=4k+3$ là số nguyên tố. Khi đó nếu $p|a^2+b^2$ thì $p|a,p|b$.

Chứng minh

Nếu ít nhất một trong hai số $a,b$ chia hết cho $p$ thì từ $p|a^2+b^2$ ta suy ra số còn lại cũng chia hết cho $p$.

Nếu $p \nmid a,p \nmid b$ thì theo định lý Fermat nhỏ thì $a^{p-1}=(a^2)^{2k+1} \equiv 1 \pmod{p}$ và $(b^2)^{2k+1} \equiv 1 \pmod{p}$. Do đó $(a^2)^{2k+1}+(b^2)^{2k+1} \equiv 2 \pmod{p}$ mà $p|a^2+b^2|(a^2)^{2k+1}+(b^2)^{2k+1}$ nên chỉ có thể $p=2$, mâu thuẫn.

Vậy bổ đề được chứng minh. $\blacksquare$

Quay lại bài toán, vì $2003$ nguyên tố và $2003 \equiv 3 \pmod{4}$ nên ta suy ra $2003|y,2003|x$. Đặt $x=2003x_1,y=2003y_1$ với $x_1,y_1 \in \mathbb{Z}$. Khi đó $$(1) \Leftrightarrow x_1^{2002}+y_1^{2002}=2003^{1006}(x_1^6+y_1^6) \qquad (2)$$

Lập luận tương tự thì $2003|y_1,2003|x_1$ nên $y_1=2003y_2,x_2=2003x_2$ với $y_2,x_2 \in \mathbb{Z}$. Khi đó $$(2) \Leftrightarrow 2003^{990} \left( x_2^{2002}+y_2^{2002} \right)= x_2^6+y_2^6.$$

Phương trình này vô nghiệm vì $VT>x_2^{2002}+y_2^{2002} \ge VP$.

Vậy phương trình ban đầu không có nghiệm nguyên.