Chủ đề này có 2 trả lời

[Juliel]

Tìm nghiệm nguyên dương :

$$x^{2009}+y^{2009}=7^z$$

[Zaraki]

Tìm nghiệm nguyên dương :

$$x^{2009}+y^{2009}=7^z \qquad (1)$$

Lời giải. Đặt $x=7^k \cdot m,y=7^q \cdot n$ với $m,k,m,q \in \mathbb{N}, \; m,n \ge 1, \; 7 \nmid m, 7 \nmid n$. Không mất tỉnh tổng quát, giả sử $k \ge q$ nên $z \ge 2009q$. Khi đó $$(1) \Leftrightarrow 7^{2009(k-q)} \cdot m^{2009}+n^{2009}=7^{z-2009q}.$$

Nếu $k>q$ thì $VT \not\equiv 0 \pmod{7}$ nên $z=2009q$. Khi đó $7^{2009(k-q)} \cdot m^{2009}+n^{2009}=1$, mâu thuẫn vì $VT>1$. Vậy $k=q$. Khi đó phương trình trở thành $$m^{2009}+n^{2009}=7^{z-2009q}=7^k \; (k=z-2009q)$$

Vì $VT>1$ nên $k \ge 1$. Ta đã có $7 \nmid m, 7 \nmid n$ và $7|m+n$ (vì nếu $7 \nmid m+n$ thì $m+n=1$, mâu thuẫn vì $m,n \ge 2$) nên theo bổ đề LTE ta có $$v_7(m^{2009}+n^{2009})=v_7(2009)+v_7(m+n) \Leftrightarrow v_7(m+n)=k-2$$

Từ đây ta suy ra $k \ge 3$ và $m+n=7^{k-2}$.

Nếu $k=3$ hoặc $k=4$ thì $m=n=1$ không thoả mãn nên $VT=m^{2009}+n^{2009} \ge 1+2^{2009}>7^4=VP$, mâu thuẫn.

Vậy $k \ge 5$. Do đó $$7^{k-2} > 7^2 \Leftrightarrow m+n>\dfrac{m^{2009}+n^{2009}}{m+n} \Leftrightarrow m^2+2mn+n^2>m^{2009}+n^{2009}$$

Nếu $mn \ge 2$ thì $m^{2009}+n^{2009}>(m+n)^2$. Do đó chỉ có thể $m=n=1$, tuy nhiên lúc đó thì $m+n=2$ không chia hết cho $7$, mâu thuẫn.

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương.

[LNH]

Lời giải. Đặt $x=7^k \cdot m,y=7^q \cdot n$ với $m,k,m,q \in \mathbb{N}, \; m,n \ge 1, \; 7 \nmid m, 7 \nmid n$. Không mất tỉnh tổng quát, giả sử $k \ge q$ nên $z \ge 2009q$. Khi đó $$(1) \Leftrightarrow 7^{2009(k-q)} \cdot m^{2009}+n^{2009}=7^{z-2009q}.$$

Nếu $k>q$ thì $VT \not\equiv 0 \pmod{7}$ nên $z=2009q$. Khi đó $7^{2009(k-q)} \cdot m^{2009}+n^{2009}=1$, mâu thuẫn vì $VT>1$. Vậy $k=q$. Khi đó phương trình trở thành $$m^{2009}+n^{2009}=7^{z-2009q}=7^k \; (k=z-2009q)$$

Vì $VT>1$ nên $k \ge 1$. Ta đã có $7 \nmid m, 7 \nmid n$ và $7|m+n$ (vì nếu $7 \nmid m+n$ thì $m+n=1$, mâu thuẫn vì $m,n \ge 2$) nên theo bổ đề LTE ta có $$v_7(m^{2009}+n^{2009})=v_7(2009)+v_7(m+n) \Leftrightarrow v_7(m+n)=k-2$$

Từ đây ta suy ra $k \ge 3$ và $m+n=7^{k-2}$.

Nếu $k=3$ hoặc $k=4$ thì $m=n=1$ không thoả mãn nên $VT=m^{2009}+n^{2009} \ge 1+2^{2009}>7^4=VP$, mâu thuẫn.

Vậy $k \ge 5$. Do đó $$7^{k-2} > 7^2 \Leftrightarrow m+n>\dfrac{m^{2009}+n^{2009}}{m+n} \Leftrightarrow m^2+2mn+n^2>m^{2009}+n^{2009}$$

Nếu $mn \ge 2$ thì $m^{2009}+n^{2009}>(m+n)^2$. Do đó chỉ có thể $m=n=1$, tuy nhiên lúc đó thì $m+n=2$ không chia hết cho $7$, mâu thuẫn.

Vậy phương trình không có nghiệm nguyên dương.

Anh nghĩ ban đầu em nên giả sử $x_0,y_0$ là bộ nghiệm nhỏ nhất rồi suy ra tồn tại $m,n$ là bộ nghiệm nhỏ hơn, suy ra  không tồn tại nghiệm nguyên dương thì sẽ giảm được phần làm LTE phía sau