Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyenqn1998]

cho a,b,c là 3 số thực dương , CMR:

$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2} \geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenqn1998: 07-11-2013 - 11:38

[nguyenqn1998]

cho a,b,c là 3 số thực dương , CMR:

$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2} \geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b})$

mong các bạn giải bài này bằng AM-GM đuợc!

Minh xin trình bày một cách không dùng AM-GM mà sáng này mình mới biết:

ta chuẩn hóa $abc=1$

$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2} \geq \frac{1}{2}(\frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b})<=>a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3 \geq \frac{1}{2}(\sum ab(a+b))$

mà theo bất đẳng thức Schur bậc 3: 

$a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3 + 3a^2b^2c^2 \geq \sum ab(a+b) <=>a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3 \geq \sum ab(a+b) -3$

=>$\sum ab(a+b)\geq 6 <=> (ab+bc+ca)(a+b+c)-3abc \geq 6$

$<=>(ab+bc+ca)(a+b+c)\geq 6$ (đúng do bất đẳng thức AM-GM)

[Dung Dang Do]

Bài này cần gì chuẩn hóa. 2 Cách bình thường thôi

=))

Cách 1: Dùng CauChy như sau.

$\left (\frac{ab}{c^2}+\frac{a}{b}  \right )+\left (\frac{ab}{c^2}+\frac{b}{a}  \right )\ge 2\frac{a+b}{c}$

Tương tự 3 lần là ra  

Cách 2: Một cách tớ làm cho 1 nhóm BĐT có cách làm trong ảnh

______

TKVN