Chủ đề này có 6 trả lời

[LittleAquarius]

Bài 1: Cho $a, b, c$ là 3 số thực tùy ý. Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{3}{4}\geqslant -a-b-c$

 

Bài 2: Cho $x+y=1$. Chứng minh: $x^{4}+y^{4}\geqslant \frac{1}{8}$

 

Bài 3: Chứng minh rằng: $\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}> 10$

 

Bài 4: Cho $a\geqslant 0$. Chứng minh: $\frac{a^{2}+5}{\sqrt{a^{2}+4}}> 2$

[Yagami Raito]

Bài 1: Cho $a, b, c$ là 3 số thực tùy ý. Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{3}{4}\geqslant -a-b-c$

 

Bài 2: Cho $x+y=1$. Chứng minh: $x^{4}+y^{4}\geqslant \frac{1}{8}$

 

 

$\boxed{1}$

Ta có điều cần chứng minh 

$a^2 + b^2+c^2+a+b+c+\dfrac{3}{4} \geq 0 \Leftrightarrow (a+\dfrac{1}{2})^2+(b+\dfrac{1}{2})^2+(c+\dfrac{1}{2})^2 \geq 0$ (luôn đúng)

 

$\boxed{2}$ Ap dung BĐT cô si dạng $a^2+b^2 \geq \dfrac{(a+b)^2}{2}$ ta có 

 

$x^4+y^4 \geq \dfrac{(a^2+b^2)^2}{2} \geq \dfrac{(a+b^2)}{8}=\dfrac{1}{8}$

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=\dfrac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 10-11-2013 - 15:43

[lovemath99]

Bài 1: Cho $a, b, c$ là 3 số thực tùy ý. Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{3}{4}\geqslant -a-b-c$

 

Bài 2: Cho $x+y=1$. Chứng minh: $x^{4}+y^{4}\geqslant \frac{1}{8}$

 

Bài 3: Chứng minh rằng: $\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}> 10$

 

Bài 4: Cho $a\geqslant 0$. Chứng minh: $\frac{a^{2}+5}{\sqrt{a^{2}+4}}> 2$

 

2. Theo Cauchy-Schwarz ta có:

$x^4+y^4 \ge \dfrac{(x^2+y^2)^2}{2} \ge \dfrac{(\dfrac{(x+y)^2}{2})^2}{2}=\dfrac{1}{8}$

...

[lovemath99]

Bài 1: Cho $a, b, c$ là 3 số thực tùy ý. Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{3}{4}\geqslant -a-b-c$

 

Bài 2: Cho $x+y=1$. Chứng minh: $x^{4}+y^{4}\geqslant \frac{1}{8}$

 

Bài 3: Chứng minh rằng: $\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}> 10$

 

Bài 4: Cho $a\geqslant 0$. Chứng minh: $\frac{a^{2}+5}{\sqrt{a^{2}+4}}> 2$

 

4. Đặt $t=\sqrt{a^2+4}>0$ và áp dụng AM-GM ta có:

$\dfrac{t^2+1}{t} \ge \dfrac{2t}{t}=2$

...

[datcoi961999]

Bài 1: Cho $a, b, c$ là 3 số thực tùy ý. Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{3}{4}\geqslant -a-b-c(1)$

 

Bài 2: Cho $x+y=1$. Chứng minh: $x^{4}+y^{4}\geqslant \frac{1}{8}$

 

Bài 3: Chứng minh rằng: $\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}> 10$

 

Bài 4: Cho $a\geqslant 0$. Chứng minh: $\frac{a^{2}+5}{\sqrt{a^{2}+4}}> 2(2)$

1) $(1)<=>(a+\frac{1}{2})^2+(b+\frac{1}{2})^2+(c+\frac{1}{2})^2\geq 0$

2)áp dụng bddt B.C.S dạng phân thức

$a^4+b^4\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}\geq \frac{(a+b)^4}{8}=\frac{1}{8}$

3)$\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}> \frac{100}{\sqrt{100}}=10$

[Yagami Raito]

$\boxed{4}$

Điều cần chứng minh tương đương $a^2+5>2\sqrt{a^2+4}$

Áp dụng BDT cauchy ta có : 

$2\sqrt{a^2+4} \leq a^2+4+1=a^2+5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 10-11-2013 - 15:48

[lovemath99]

Bài 1: Cho $a, b, c$ là 3 số thực tùy ý. Chứng minh rằng: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{3}{4}\geqslant -a-b-c$

 

Bài 2: Cho $x+y=1$. Chứng minh: $x^{4}+y^{4}\geqslant \frac{1}{8}$

 

Bài 3: Chứng minh rằng: $\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}> 10$

 

Bài 4: Cho $a\geqslant 0$. Chứng minh: $\frac{a^{2}+5}{\sqrt{a^{2}+4}}> 2$

 

3. Ta có: $\dfrac{1}{\sqrt{1}}>\dfrac{1}{\sqrt{100}}$

Làm tương tự rồi cộng lại ta đc:

$\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{100}}> \dfrac{100}{\sqrt{100}}=\sqrt{100}=10$