Chủ đề này có 1 trả lời

[letankhang]

Tìm $x$ sao cho $x^{3}\equiv 111(\mod1000)$

[PT42]

$x^{3} \equiv 111 (mod 1000)$ $\Leftrightarrow$ $x^{3} - 111$ chia hết cho 8 và 125 (vì UCLN (8, 125) = 1)

 

$x^{3} - 111 \vdots 8$ $\Leftrightarrow x^{3} + 1 = (x + 1)(x^{2} - x + 1)\vdots 8$

$\Leftrightarrow x + 1 \vdots 8$ (vì $x^{2} - x + 1 = x(x -1) + 1$ là số lẻ) )

$\Rightarrow x = 8t - 1$ với $t \varepsilon \mathbb{Z}$ (1)

 

$x^{3} - 111 \vdots 125$ (2)

$\Rightarrow x^{3} - 1 \vdots 5$ $\Leftrightarrow x^{3}\equiv 1 (mod 5)$

Nếu $x\equiv 0 (mod 5)$ thì $x^{3}\equiv 0 (mod 5)$ (loại)

Nếu $x\equiv 1 (mod 5)$ thì $x^{3}\equiv 1 (mod 5)$ (thỏa mãn)

Nếu $x\equiv 2 (mod 5)$ thì $x^{3}\equiv 2^{3} \equiv 3 (mod 5)$ (loại)

Nếu $x \equiv 3 (mod 5)$ thì $x^{3} \equiv 3^{3} \equiv 2 (mod 5)$ (loại)

Nếu $x \equiv 4 (mod 5)$ thì $x^{3} \equiv 4^{3} \equiv 4(mod 5)$ (loại)

$\Rightarrow x\equiv 1 (mod 5)$ . Đặt x = 5a + 1 (a $\varepsilon$ $\mathbb{Z}$)

 

Thay vào (2) ta có $(5a + 1)^{3} - 111 \vdots 125$

$\Rightarrow 125a^{3} + 3.25a^{2} + 3.5a - 110 \vdots 125$

$\Rightarrow 25a^{3} + 15a^{2} + 3a - 22 \vdots 25$

$\Rightarrow 15a^{2} + 3a - 22 \vdots 25$ (3)

 

$\Rightarrow 15a^{2} + 3a - 22 \vdots 5$

$\Rightarrow 3a - 22 = 3(a + 1) - 25 \vdots 5$ $\Rightarrow (a + 1) \vdots 5$

$\Rightarrow a = 5b - 1$ với b $\varepsilon \mathbb{Z}$

Thay vào (3) ta có $15(5b - 1)^{2} + 3(5b - 1) - 22 \vdots 25$

$\Rightarrow 15 + 15b - 25  = 5(3b - 2)  \vdots 25$

$\Rightarrow 3b - 2 = 3(b + 1) - 5 \vdots 5$

$\Rightarrow (b + 1) \vdots 5$ $\Rightarrow b = 5k -1$ với $k \varepsilon \mathbb{Z}$

$\Rightarrow a = 5b - 1 = 25k - 6$

$\Rightarrow x = 5a + 1 = 125k - 29$ (4)

 

Từ (1) và (4) ta có

$\left\{\begin{matrix} x = 125k - 29\\x = 8t - 1 \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 376x = 47000k - 10904\\375x = 3000t - 375 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x = (47k - 3t). 1000 - 10529 = (47k - 3t - 11). 1000 + 471$

$\Rightarrow x = 1000 n + 471$ với n là số nguyên.

Thử lại : $x \equiv 471 (mod 1000)$

$\Rightarrow$ $x^{3} \equiv 471^{3} = 104487111 \equiv 111$ (mod 1000) (thỏa mãn).

 

Vậy x = 1000n + 471.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PT42: 13-11-2013 - 19:58