Cho x, y là số thực sao cho $x+y;x^{2}+y^{2};x^{4}+y^{4}$ là các số nguyên. Chứng minh rằng: $x^{3}+y^{3}$ cũng là số nguyên.
Cho x, y là số thực sao cho $x+y;x^{2}+y^{2};x^{4}+y^{4}$ là các số nguyên. Chứng minh rằng: $x^{3}+y^{3}$ cũng là số nguyên.
Cho x, y là số thực sao cho $x+y;x^{2}+y^{2};x^{4}+y^{4}$ là các số nguyên. Chứng minh rằng: $x^{3}+y^{3}$ cũng là số nguyên.
Ta có :
$gt\Rightarrow (x^2+y^2)^2-(x^4+y^4)$ là số nguyên
$\Rightarrow 2x^{2}y^{2}\in \mathbb{Z}\Rightarrow \frac{(2xy)^{2}}{2}\in \mathbb{Z}\Rightarrow 2|(2xy)^{2}\Rightarrow 2|2xy\Rightarrow xy\in \mathbb{Z}$
$x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)$
Mà : $(x+y)^{3}\in \mathbb{Z};3xy(x+y)\in \mathbb{Z}$ ( do $xy;x+y\in \mathbb{Z}$ )
Suy ra $x^3+y^3$ là số nguyên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 11-11-2013 - 20:45
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
Cho x, y là số thực sao cho $x+y;x^{2}+y^{2};x^{4}+y^{4}$ là các số nguyên. Chứng minh rằng: $x^{3}+y^{3}$ cũng là số nguyên.
Ta có: $(x+y)(x^{2}+y^{2})=x^{3}+y^{3}+xy(x+y)$ (1)
$x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy$ (2)
$x^{4}+y^{4}=(x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}y^{2}$ (3)
Vì $x+y;x^{2}+y^{2}$ là số nguyên nên từ (2) $\Rightarrow 2xy$ là số nguyên
Vì $x^{2}+y^{2},x^{4}+y^{4}$ là số nguyên nên từ (3) $\Rightarrow 2x^{2}y^{2}=\frac{1}{2}(2xy)^{2}$ là số nguyên
$\Rightarrow (2xy)^{2}$ chia hết cho $2$ $\Rightarrow 2xy$ chia hết cho $2$( do $2$ là số nguyên tố)
$\Rightarrow xy$ là số nguyên
Do đó từ (1) suy ra $x^{3}+y^{3}$ là số nguyên
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh