Chủ đề này có 2 trả lời

[nhox sock tn]

Cho x, y là số thực sao cho $x+y;x^{2}+y^{2};x^{4}+y^{4}$ là các số nguyên. Chứng minh rằng: $x^{3}+y^{3}$ cũng là số nguyên.

 

 

[letankhang]

Cho x, y là số thực sao cho $x+y;x^{2}+y^{2};x^{4}+y^{4}$ là các số nguyên. Chứng minh rằng: $x^{3}+y^{3}$ cũng là số nguyên.

Ta có : 

$gt\Rightarrow (x^2+y^2)^2-(x^4+y^4)$ là số nguyên

$\Rightarrow 2x^{2}y^{2}\in \mathbb{Z}\Rightarrow \frac{(2xy)^{2}}{2}\in \mathbb{Z}\Rightarrow 2|(2xy)^{2}\Rightarrow 2|2xy\Rightarrow xy\in \mathbb{Z}$

$x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)$

Mà : $(x+y)^{3}\in \mathbb{Z};3xy(x+y)\in \mathbb{Z}$ ( do $xy;x+y\in \mathbb{Z}$ )

Suy ra $x^3+y^3$ là số nguyên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 11-11-2013 - 20:45

[Rias Gremory]

Cho x, y là số thực sao cho $x+y;x^{2}+y^{2};x^{4}+y^{4}$ là các số nguyên. Chứng minh rằng: $x^{3}+y^{3}$ cũng là số nguyên.

Ta có: $(x+y)(x^{2}+y^{2})=x^{3}+y^{3}+xy(x+y)$  (1)

$x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy$  (2)

$x^{4}+y^{4}=(x^{2}+y^{2})^{2}-2x^{2}y^{2}$  (3)

Vì $x+y;x^{2}+y^{2}$ là số nguyên nên từ (2) $\Rightarrow 2xy$ là số nguyên

Vì $x^{2}+y^{2},x^{4}+y^{4}$ là số nguyên nên từ (3) $\Rightarrow 2x^{2}y^{2}=\frac{1}{2}(2xy)^{2}$ là số nguyên

$\Rightarrow (2xy)^{2}$ chia hết cho $2$ $\Rightarrow 2xy$ chia hết cho $2$( do $2$ là số nguyên tố)

$\Rightarrow xy$ là số nguyên

Do đó từ (1) suy ra $x^{3}+y^{3}$ là số nguyên