Chủ đề này có 1 trả lời

[hoangmanhquan]

Cho n $\in$ N sao cho $\frac{n^2-1}{3}$ là tích 2 số tự nhiên liên tiếp. CMR: n là tổng của 2 số chính phương liên tiếp.

 

[trandaiduongbg]

Cho n $\in$ N sao cho $\frac{n^2-1}{3}$ là tích 2 số tự nhiên liên tiếp. CMR: n là tổng của 2 số chính phương liên tiếp.

 

Ta có : $\frac{n^{2}-1}{3}=k(k+1)$ ( $k\epsilon N$ )

$\Leftrightarrow n^{2}=3k^{2}+3k+1\Leftrightarrow 4n^{2}-1=12k^{2}+12k+3\Leftrightarrow (2n-1)(2n+1)=3(2k+1)^{2}$

Đến đây xét $2$ TH là

$\left\{\begin{matrix} 2n-1=3p^{2} \\ 2n+1=q^{2} \end{matrix}\right.$

và $\left\{\begin{matrix} 2n-1=p^{2} \\ 2n+1=3q^{2} \end{matrix}\right.$

TH$1$ 

Hệ $PT\Leftrightarrow q^{2}=3p^{2}+2\equiv 2(mod3)$ ( loại vì số chính phương chia $3$ dư $0$ hoặc $1$)

TH$2$

Hệ $PT\Leftrightarrow p=2a+1\Rightarrow 2n=(2a+1)^{2}+1\Rightarrow n^{2}=a^{2}+(a+1)^{2}$ (ĐPCM)