Chủ đề này có 5 trả lời

[hoangmanhquan]

Tìm a, b,c là số tự nhiên sao cho A là số nguyên

A=$\frac{(ab-1)(bc-1)(ca-1)}{abc}$

 

[Rias Gremory]

 

Tìm a, b,c là số tự nhiên sao cho A là số nguyên

A=$\frac{(ab-1)(bc-1)(ca-1)}{abc}$

 

Ta có : $A=\frac{(ab-1)(bc-1)(ca-1)}{abc}=abc-(a+b+c)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}$

Vì $a,b,c$ là số tự nhiên do đó để $A$ là sô nguyên khi và chỉ khi $M=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}$ là số nguyên

Do $a,b,c$ có vai trò như nhau nên giả sử $a< b< c\Rightarrow a\geq 1,b\geq 2,c\geq 3$

Do đó $0< \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}< \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\leq 2$

$\Rightarrow M=1$ ( Vì $M$ là số nguyên)

$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}=1\Leftrightarrow (a-1)(b-1)(c-1)=a+b+c\geq 6$

$\Rightarrow a-1> 0\Rightarrow a\geq 2\Rightarrow b\geq 3\Rightarrow c\geq 4$

Nếu $(a-1)(b-1)\geq 4$, vì $a< b< c\Rightarrow 3c> a+b+c\Rightarrow 3c> (a-1)(b-1)(c-1)\geq 4\Rightarrow 3c> 4(c-1)\Rightarrow c< 4$ trái với $c\geq 4$ . Suy ra $(a-1)(b-1)=2;3$

+ Nếu $(a-1)(b-1)=2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-1=1 \\ b-1=2 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=2 \\ b=3 \end{matrix}\right. \Rightarrow c=5$ thõa mãn bài ra

+ Nếu $(a-1)(b-1)=3\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-1=1 \\ b-1=3 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=2 \\ b=4 \end{matrix}\right. \Rightarrow c=\frac{9}{2}$ ( Loại)

Vậy các số $a,b,c$ thõa mãn bài toán là $(a,b,c)=(2,3,5)$ và các hoán vị của nó

[NMDuc98]

Ta có : $A=\frac{(ab-1)(bc-1)(ca-1)}{abc}=abc-(a+b+c)+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}$

Vì $a,b,c$ là số tự nhiên do đó để $A$ là sô nguyên khi và chỉ khi $M=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}$ là số nguyên

Do $a,b,c$ có vai trò như nhau nên giả sử $a< b< c\Rightarrow a\geq 1,b\geq 2,c\geq 3$

Do đó $0< \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}< \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\leq 2$

$\Rightarrow M=1$ ( Vì $M$ là số nguyên)

$\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{abc}=1\Leftrightarrow (a-1)(b-1)(c-1)=a+b+c\geq 6$

$\Rightarrow a-1> 0\Rightarrow a\geq 2\Rightarrow b\geq 3\Rightarrow c\geq 4$

Nếu $(a-1)(b-1)\geq 4$, vì $a< b< c\Rightarrow 3c> a+b+c\Rightarrow 3c> (a-1)(b-1)(c-1)\geq 4\Rightarrow 3c> 4(c-1)\Rightarrow c< 4$ trái với $c\geq 4$ . Suy ra $(a-1)(b-1)=2;3$

+ Nếu $(a-1)(b-1)=2\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-1=1 \\ b-1=2 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=2 \\ b=3 \end{matrix}\right. \Rightarrow c=5$ thõa mãn bài ra

+ Nếu $(a-1)(b-1)=3\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a-1=1 \\ b-1=3 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=2 \\ b=4 \end{matrix}\right. \Rightarrow c=\frac{9}{2}$ ( Loại)

Vậy các số $a,b,c$ thõa mãn bài toán là $(a,b,c)=(2,3,5)$ và các hoán vị của nó

Cái phức tập ở đây là đề bài yêu cầu tìm các số tự nhiên chứ không phải tìm các sô tự nhiên khác nhau mà bạn giả sử cho $ a<b<c $ 

[Rias Gremory]

Cái phức tập ở đây là đề bài yêu cầu tìm các số tự nhiên chứ không phải tìm các sô tự nhiên khác nhau mà bạn giả sử cho $ a<b<c $ 

ờ nhỉ??? nhìn lầm, nếu mà như thế thì có thể thêm TH là $a=b=c$ và $a=b< c$ là ọk. Nhưng mà đề này đúng là phải tìm tất cả các số tự nhiên đôi một khác nhau mới đúng.

P/s : Nằm trong đề thi HSG tỉnh lớp 9 , hôm qua mới làm xong. ^^

[NMDuc98]

ờ nhỉ??? nhìn lầm, nếu mà như thế thì có thể thêm TH là $a=b=c$ và $a=b< c$ là ọk. Nhưng mà đề này đúng là phải tìm tất cả các số tự nhiên đôi một khác nhau mới đúng.

P/s : Nằm trong đề thi HSG tỉnh lớp 9 , hôm qua mới làm xong. ^^

Nếu là đôi một khác nhau thì cũng là đề thì hsg tỉnh lớp 9 năm ngoái của Hà Tĩnh luôn!!

Nếu nói là số tự nhiên thì ta cũng có thể xét $1\leq a\leq b\leq c$.Nhưng hơi dài!!

[NMDuc98]

DK: $a,b,c \neq 0$

Ta phải có:

$abc|(ab-1)(bc-1)(ca-1)$

$<=>abc|(abc)^2-abc(a+b+c)+ab+bc+ca-1$

$<=>abc|ab+bc+ca-1$       (*)

Không mất tính tổng quát,ta giả sử: $1\leq a\leq b\leq c$

Ta có:

$abc\leq ab+bc+ca-1 < ab+bc+ca < c(2a+b)$

$=>ab<2a+b\leq 3b=>a<3=> a\in \left \{ 1;2 \right \}$

Trường hợp 1:

*) $a=1$

=>Từ (*)$=>bc|bc+b+c-1=>bc|b+c-1$

$=>bc\leq b+c-1<=>(b-1)(c-1)\leq 0=>(b-1)(c-1)=0$ (vì $(b-1)(c-1)\geq 0$)

Với $a=1,b=1$ (hay $a=1;c=1$) ta có:

$A=0$ $\forall c\neq 0$ (hay $\forall b\neq 0$)

Do vai trò của a,b,c như nhau nên trong ba số a,b,c có hai số bằng 1 và 1 số nguyên dương tùy ý là đáp sô bài toán.  (**)

Trường hợp 2:

*) $a=2$

Từ (*)$=>2bc|2(b+c)+bc-1=>2bc|4(b+c)+2bc-2$

$=>2bc|4(b+c)-2=>bc|2(b+c)-1$

$=>bc\leq 2(b+c)-1=>(b-2)(c-2)\leq 3$

$=>(b-2)(c-2)\in \left \{ 0;1;2;3 \right \}$

a)Nếu $(b-2)(c-2)=0 $ => nếu $c=2$ thì $b=2$ ( vì $1\leq a\leq b\leq c$)

Khi đó: $A=\frac{3.3.3}{2.2.2}=\frac{27}{8}$  (loại)

Nếu $b=2$$=> A=\frac{3(2c-1)^2)}{4c}$ không là số nguyên => loại.

b) Nếu $(b-2)(c-2)=1$

=>Chỉ có thể là $b=c=3$

$=> A=\frac{25.8}{2.3.3}=\frac{100}{9}$ (loại)

c)Nêu $(b-2)(c-2)=2$

=> Chỉ có thể là $b=3$;$c=4$

$=> A=\frac{5.11.7}{2.3.4}=\frac{385}{24}$ (loại)

d)Nếu $ (b-2)(c-2)=3$

=>Chỉ có thể là $b=3$;$c=5$

$=> A=\frac{5.14.9}{2.3.5}=21$  (Nhận)

=> $a=2;b=3;c=5$

=> (a;b;c)=(2;3;5) và các hoán vị của chúng.                                   (***)

=>(**) và (***) là đáp số cần tìm.