Tìm tất cả các số $n\in\mathbb{N^*}$ sao cho $n$ có không quá 4 ước nguyên tố và thỏa mãn:
$2^{\varphi (n)}+3^{\varphi (n)}+...+(n-1)^{\varphi (n)}\equiv 0$ (mod $n$).
trong đó $\varphi(n)$ là hàm Ơle
Tìm tất cả các số $n\in\mathbb{N^*}$ sao cho $n$ có không quá 4 ước nguyên tố và thỏa mãn:
$2^{\varphi (n)}+3^{\varphi (n)}+...+(n-1)^{\varphi (n)}\equiv 0$ (mod $n$).
trong đó $\varphi(n)$ là hàm Ơle
Tìm tất cả các số $n\in\mathbb{N^*}$ sao cho $n$ có không quá 4 ước nguyên tố và thỏa mãn:
$2^{\varphi (n)}+3^{\varphi (n)}+...+(n-1)^{\varphi (n)}\equiv 0$ (mod $n$).
trong đó $\varphi(n)$ là hàm Ơle
Xét trường hợp $n$ không có ước nguyên tố trong khoảng nguyên $(1,n)$ thì rõ ràng không thỏa mãn vì khi đó theo định lý $Euler$ với $1$ số $a$ bất kỳ trong khoảng này $a^{\phi(n)}\equiv 1(modn)$ nên $VT\equiv n-2(modn)$
Nên $n$ có không quá $4$ ước nguyên tố trong khoảng này .
Đặt $n=a^{x}.b^{y}.c^{z}.d^{t}$ trong đó $x,y,z,t$ không âm và $a,b,c,d$ nguyên tố.trong khoảng đóng nguyên $(1,n)$
Nếu $n$ có một ước nguyên tố , giả sử là $a$ , khi đó $n=a^{x}$ và $\phi(n)=n-2$ và $VT \equiv n-3+a^{\phi(n)}(moda^{x})$ nếu giả sử $x\geq n-2$ hay $3\equiv a^{x}$ , do đó $n=2$ hoặc $n=3$ , cái còn lại bạn có thể tự xét
Nếu $n$ có $2$ ước nguyên tố , giả sử là $a,b$ và $gcd(a,b)=1$ , ta có $n-4$ số nguyên tố cùng nhau với $n$ trong khoảng $(1,n)$ , khi đó $VT\equiv n-4+a^{\phi(n)}+b^{\phi(n)}\equiv 0(modn)\equiv0(moda)$
Hay $-3\equiv 0(moda)$ , từ đó có $n$ xong tùm lum là ok $2$ TH sau , muộn r ngủ đây
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
Xét trường hợp $n$ không có ước nguyên tố trong khoảng nguyên $(1,n)$ thì rõ ràng không thỏa mãn vì khi đó theo định lý $Euler$ với $1$ số $a$ bất kỳ trong khoảng này $a^{\phi(n)}\equiv 1(modn)$ nên $VT\equiv n-2(modn)$
Nên $n$ có không quá $4$ ước nguyên tố trong khoảng này .
Đặt $n=a^{x}.b^{y}.c^{z}.d^{t}$ trong đó $x,y,z,t$ không âm và $a,b,c,d$ nguyên tố.trong khoảng đóng nguyên $(1,n)$
Nếu $n$ có một ước nguyên tố , giả sử là $a$ , khi đó $n=a^{x}$ và $\phi(n)=n-2$ và $VT \equiv n-3+a^{\phi(n)}(moda^{x})$ nếu giả sử $x\geq n-2$ hay $3\equiv a^{x}$ , do đó $n=2$ hoặc $n=3$ , cái còn lại bạn có thể tự xét
Nếu $n$ có $2$ ước nguyên tố , giả sử là $a,b$ và $gcd(a,b)=1$ , ta có $n-4$ số nguyên tố cùng nhau với $n$ trong khoảng $(1,n)$ , khi đó $VT\equiv n-4+a^{\phi(n)}+b^{\phi(n)}\equiv 0(modn)\equiv0(moda)$
Hay $-3\equiv 0(moda)$ , từ đó có $n$ xong tùm lum là ok $2$ TH sau , muộn r ngủ đây
Anh đọc bài em chả hiểu em đang làm cái gì :|
Với $n=\prod^{n}_{i=1} p_i^{\alpha_i}$, định nghĩa n là số "Square-Free" khi và chỉ khi tất cả $\alpha_i=1$
Bài này đầu tiên chứng minh $n$ là số Square-Free trước. Thật vậy nếu $n\vdots p^2$ với $p$ là số nguyên tố, để ý từ 1 đến n có $\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor$ số chia chết cho $p$, còn lại nguyên tố cùng nhau với $p$ suy ra :
$2^{\varphi(n)}+3^{\varphi(n)}+....+(n-1)^{\varphi(n)}\equiv n-2-\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor \pmod{p}$
( Do $\varphi(n)\vdots p-1$)
Nhưng do $n$ và $\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor$ cùng chia hết cho $p$ nên $2\vdots p$ suy ra $p=2$ suy ra $n\vdots 4$ nhưng từ đề bài, xét tính chẵn lẻ dễ thấy điều này mâu thuẫn. Vậy $n$ là số Square-Free.
$\bullet$ Nếu $n$ có duy nhất 1 ước nguyên tố là $a=n$ suy ra :
$2^{\varphi(n)} +3^{\varphi(n)}+...+(n-1)^{\varphi(n)}\equiv n-2\equiv 0 \pmod{n}$
Suy ra $n=2$.
$\bullet$ Nếu $n$ có 2 ước nguyên tố là $n=a.b$, $a,b$ là số nguyên tố, dễ thấy $\varphi(n)\vdots a$, từ $2$ đến $n$ có $b$ số chia hêt cho $a$ suy ra :
$\bullet$ Nếu $n$ có 3 ước nguyên tố là $n=a.b.c$ tương tự trên thì $ab+2\vdots c,bc+2\vdots a,ac+2\vdots b$ suy ra $ab+bc+ca+2\vdots abc$, chặn tương tự trường hợp trên.
$\bullet$ Nếu $n$ có 4 ước nguyên tố, tương tự .....
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 17-12-2013 - 21:03
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh