Chủ đề này có 2 trả lời

[Luffy 97]

Tìm tất cả các số $n\in\mathbb{N^*}$ sao cho $n$ có không quá 4 ước nguyên tố và thỏa mãn:

$2^{\varphi (n)}+3^{\varphi (n)}+...+(n-1)^{\varphi (n)}\equiv 0$ (mod $n$).

trong đó $\varphi(n)$ là hàm Ơle

 

 

[bangbang1412]

Tìm tất cả các số $n\in\mathbb{N^*}$ sao cho $n$ có không quá 4 ước nguyên tố và thỏa mãn:

$2^{\varphi (n)}+3^{\varphi (n)}+...+(n-1)^{\varphi (n)}\equiv 0$ (mod $n$).

trong đó $\varphi(n)$ là hàm Ơle

Xét trường hợp $n$ không có ước nguyên tố trong khoảng nguyên $(1,n)$ thì rõ ràng không thỏa mãn vì khi đó theo định lý $Euler$ với $1$ số $a$ bất kỳ trong khoảng này $a^{\phi(n)}\equiv 1(modn)$ nên $VT\equiv n-2(modn)$

Nên $n$ có không quá $4$ ước nguyên tố trong khoảng này .

Đặt $n=a^{x}.b^{y}.c^{z}.d^{t}$ trong đó $x,y,z,t$ không âm và $a,b,c,d$ nguyên tố.trong khoảng đóng nguyên $(1,n)$

Nếu $n$ có một ước nguyên tố , giả sử là $a$ , khi đó $n=a^{x}$ và $\phi(n)=n-2$ và $VT \equiv n-3+a^{\phi(n)}(moda^{x})$ nếu giả sử $x\geq n-2$ hay $3\equiv a^{x}$ , do đó $n=2$ hoặc $n=3$ , cái còn lại bạn có thể tự xét

Nếu $n$ có $2$ ước nguyên tố , giả sử là $a,b$ và $gcd(a,b)=1$ , ta có $n-4$ số nguyên tố cùng nhau với $n$ trong khoảng $(1,n)$ , khi đó $VT\equiv n-4+a^{\phi(n)}+b^{\phi(n)}\equiv 0(modn)\equiv0(moda)$

Hay $-3\equiv 0(moda)$ , từ đó có $n$ xong tùm lum là ok $2$ TH sau , muộn r ngủ đây

[WhjteShadow]

Xét trường hợp $n$ không có ước nguyên tố trong khoảng nguyên $(1,n)$ thì rõ ràng không thỏa mãn vì khi đó theo định lý $Euler$ với $1$ số $a$ bất kỳ trong khoảng này $a^{\phi(n)}\equiv 1(modn)$ nên $VT\equiv n-2(modn)$

Nên $n$ có không quá $4$ ước nguyên tố trong khoảng này .

Đặt $n=a^{x}.b^{y}.c^{z}.d^{t}$ trong đó $x,y,z,t$ không âm và $a,b,c,d$ nguyên tố.trong khoảng đóng nguyên $(1,n)$

Nếu $n$ có một ước nguyên tố , giả sử là $a$ , khi đó $n=a^{x}$ và $\phi(n)=n-2$ và $VT \equiv n-3+a^{\phi(n)}(moda^{x})$ nếu giả sử $x\geq n-2$ hay $3\equiv a^{x}$ , do đó $n=2$ hoặc $n=3$ , cái còn lại bạn có thể tự xét

Nếu $n$ có $2$ ước nguyên tố , giả sử là $a,b$ và $gcd(a,b)=1$ , ta có $n-4$ số nguyên tố cùng nhau với $n$ trong khoảng $(1,n)$ , khi đó $VT\equiv n-4+a^{\phi(n)}+b^{\phi(n)}\equiv 0(modn)\equiv0(moda)$

Hay $-3\equiv 0(moda)$ , từ đó có $n$ xong tùm lum là ok $2$ TH sau , muộn r ngủ đây

Anh đọc bài em chả hiểu em đang làm cái gì :|

Với $n=\prod^{n}_{i=1} p_i^{\alpha_i}$, định nghĩa n là số "Square-Free" khi và chỉ khi tất cả $\alpha_i=1$ 

Bài này đầu tiên chứng minh $n$ là số Square-Free trước. Thật vậy nếu $n\vdots p^2$ với $p$ là số nguyên tố, để ý từ 1 đến n có $\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor$ số chia chết cho $p$, còn lại nguyên tố cùng nhau với $p$ suy ra :

$2^{\varphi(n)}+3^{\varphi(n)}+....+(n-1)^{\varphi(n)}\equiv n-2-\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor \pmod{p}$

( Do $\varphi(n)\vdots p-1$) 

Nhưng do $n$ và $\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor$ cùng chia hết cho $p$ nên $2\vdots p$ suy ra $p=2$ suy ra $n\vdots 4$ nhưng từ đề bài, xét tính chẵn lẻ dễ thấy điều này mâu thuẫn. Vậy $n$ là số Square-Free.

$\bullet$ Nếu $n$ có duy nhất 1 ước nguyên tố là $a=n$ suy ra :

$2^{\varphi(n)} +3^{\varphi(n)}+...+(n-1)^{\varphi(n)}\equiv n-2\equiv 0 \pmod{n}$

Suy ra $n=2$.

$\bullet$ Nếu $n$ có 2 ước nguyên tố là $n=a.b$, $a,b$ là số nguyên tố, dễ thấy $\varphi(n)\vdots a$, từ $2$ đến $n$ có $b$ số chia hêt cho $a$ suy ra :

$2^{\varphi(n)} +3^{\varphi(n)}+...+(n-1)^{\varphi(n)}\equiv n-2-b\pmod a$

Hay $b+2\vdots a$ tương tự $a+2\vdots b\Rightarrow a+b+2\vdots ab$ (Do $(a;b)=1$)

$\Rightarrow  a+b+2\geq ab\Rightarrow (a-1)(b-1)\leq 1$ Vô lý do a,b là số nguyên tố.

$\bullet$ Nếu $n$ có 3 ước nguyên tố là $n=a.b.c$ tương tự trên thì $ab+2\vdots c,bc+2\vdots a,ac+2\vdots b$ suy ra $ab+bc+ca+2\vdots abc$, chặn tương tự trường hợp trên.

$\bullet$ Nếu $n$ có 4 ước nguyên tố, tương tự .....

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 17-12-2013 - 21:03