Chủ đề này có 2 trả lời

[Trang Luong]

Cho $x,y,z> 0.Cmr: \frac{x^2-z^2}{y+z}+\frac{y^2-x^2}{z+x}+\frac{z^2-y^2}{x+y}\geq 0$

[neversaynever99]

Giải 

Đặt $x+y=a;y+z=b;z+x=c(a,b,c>0)$

Khi đó ta có bdt cần chứng minh tương đương với

$\frac{c(a-b)}{b}+\frac{a(b-c)}{c}+\frac{b(c-a)}{a}\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\geq a+b+c$(*)

Tới đây áp dụng bdt AM-GM ta có

$\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\geq 2b (1)$

Tương tự $\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\geq 2c (2)$

$\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c}\geq 2b(3)$

cộng theo vế của (1);(2);(3) ta có đpcm

[Hoang Tung 126]

BDT $< = > x^2(\frac{1}{y+z}-\frac{1}{x+z})+y^2(\frac{1}{x+z}-\frac{1}{x+y})+z^2(\frac{1}{x+y}-\frac{1}{y+z})\geq 0< = > \sum \frac{x^2(x-y)}{(x+z)(y+z)}\geq 0< = > \frac{\sum x^4-\sum x^2y^2}{(x+y)(y+z)(x+z)}\geq 0$

(Luon đúng do theo bdt AM-GM thì $\sum x^4-\sum x^2y^2\geq 0$