Tìm ước chung lớn nhất của $ a^2b+b^2c+c^2a, ab^2+bc^2+ca^2, a+b+c$ với $a,b,c \in \mathbb{Z},a,b,c>1$ và $a,b,c$ nguyên tố cùng nhau.
Tìm $(\sum a^2b, \sum ab^2, \sum a)$
#1
Đã gửi 19-11-2013 - 04:56
- E. Galois, LNH, datcoi961999 và 4 người khác yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 03-08-2015 - 06:53
Tìm ước chung lớn nhất của $ a^2b+b^2c+c^2a, ab^2+bc^2+ca^2, a+b+c$ với $a,b,c \in \mathbb{Z},a,b,c>1$ và $a,b,c$ nguyên tố cùng nhau.
Đặt $A=a^2b+b^2c+c^2a$ ; $B=ab^2+bc^2+ca^2$ ; $C=a+b+c$.
Giả sử $d$ là ƯCLN của $A,B$ và $C$, tức là $(A,B,C)=d$
$\Rightarrow d$ cũng là ước của $(a+b+c)(ab+bc+ca)-A-B=3\ abc$
$\Rightarrow d$ có dạng $mnpq$ (với $m\ |\ 3$ ; $n\ |\ a$ ; $p\ |\ b$ ; $q\ |\ c$).
Mặt khác ta nhận xét rằng nếu trong 3 số $n,p,q$ có ít nhất 1 số khác $1$, giả sử $n\neq 1$ thì khi đó vì $n\ |\ a$ và $a,b,c$ nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên $b^2c$ và $bc^2$ không chia hết cho $n$ $\Rightarrow A$ và $B$ không chia hết cho $d$.Điều này vô lý vì nó mâu thuẫn với điều giả sử $(A,B,C)=d$.
Vậy $n=p=q=1\Rightarrow d$ chỉ có thể bằng $3$ hoặc bằng $1$.
Vì $a,b,c$ nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên trong $3$ số đó có nhiều nhất $1$ số là bội của $3$.Xét $2$ TH :
$I/$ Trong $3$ số $a,b,c$, có đúng $1$ số là bội của $3$ :
Khi đó, theo lập luận ở trên, $d$ không thể bằng $3$ $\Rightarrow d=1$.
$II/$ Trong $3$ số $a,b,c$, không có số nào là bội của $3$ :
$1)$ Nếu $a,b,c$ có cùng số dư (khác $0$) khi chia cho $3$ :
Khi đó dễ thấy rằng $A\equiv B\equiv C\equiv 0\ (mod\3)\Rightarrow d=3$.
$2)$ Các trường hợp còn lại :
Khi đó dễ thấy rằng $C=a+b+c$ không chia hết cho $3\Rightarrow d=1$.
Kết luận :
+ Nếu $a,b,c$ có cùng số dư là $1$, hoặc cùng số dư là $2$ khi chia cho $3$ thì $d=3$.
+ Các trường hợp khác : $d=1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 03-08-2015 - 14:08
- E. Galois và Thao Huyen thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#3
Đã gửi 03-08-2015 - 12:54
Đặt $A=a^2b+b^2c+c^2a$ ; $B=ab^2+bc^2+ca^2$ ; $C=a+b+c$.
Giả sử $d$ là ƯCLN của $A,B$ và $C$, tức là $(A,B,C)=d$
$\Rightarrow d$ cũng là ước của $(a+b+c)(ab+bc+ca)-A-B=3\ abc$
$\Rightarrow d$ hoặc là ước khác 1 của $a$, hoặc là ước khác 1 của $b$, hoặc là ước khác 1 của $c$, hoặc bằng $3$, hoặc bằng $1$.
Mình nghĩ từ $3|abc$ suy ra hoặc $d|a$ hoặc $d|b$ hoặc $d|c$ hoặc $d=3$ hoặc $d=1$ là có vẻ chưa đúng lắm. Vì $d$ có thể $d|3a$ nhưng $d \nmid a$ (tạm cho rằng $3 \nmid a$). Khi đó không chỉ $d=3$ mà còn có $d=3l$ với $l|a, \; (1<l<a)$. Trường hợp $d=3l$ hoàn toàn không nằm trong 5 trường hợp nào mà bạn đưa trên.
Chỗ này nên đưa về xét trường hợp, nếu $\gcd (d,a)=r>1$ thì $r \nmid B$, mâu thuẫn vì $d|B$. Do đó $\gcd (d,a)=1$. Tương tự $\gcd(d,b)= \gcd (d,c)=1$. Do đó từ $d|3abc$ suy ra $d|3$ hay $d=1,3$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 03-08-2015 - 12:58
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh