Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyentrungphuc26041999]

Cho $xy>0$ và $x^{3}+y^{3}+3\left ( x^{2}+y^{2} \right )+4\left ( x+y \right )+4=0$

Tìm MAX của $M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

[Rias Gremory]

Cho $xy>0$ và $x^{3}+y^{3}+3\left ( x^{2}+y^{2} \right )+4\left ( x+y \right )+4=0$

Tìm MAX của $M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

Ta có : $x^{3}+y^{3}+3(x^{2}+y^{2})+4(x+y)+4=0$

$\Leftrightarrow x^{3}+3x^{2}+3x+1+y^{3}+3y^{2}+3y+1+x+y+2=0$

$\Leftrightarrow (x+1)^{3}+(y+1)^{3}+(x+y+2)=0$

$\Leftrightarrow (x+y+2)\left [ (x+1)^{2}-(x+1)(y+1)+(y+1)^{2}+1 \right ]=0$  (*)

Vì $(x+1)^{2}-(x+1)(y+1)+(y+1)^{2}+1=\left [ (x+1)-\frac{1}{2}(y+1) \right ]^{2}+\frac{3}{4}(y+1)^{2}+1> 0$

Nên (*) suy ra $x+y=-2$

Ta có : $M=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}=\frac{-2}{xy}$

Vì $(x+y)^{2}\geq 4xy\Leftrightarrow 4\geq 4xy\Rightarrow \frac{1}{xy}\geq 1\Rightarrow \frac{-2}{xy}\leq -2$

Vậy $MaxM=-2\Leftrightarrow x=y=-1$