Bài 1 : Cho $x>0 ,y>0 , z>0$ và $x+y+z=xyz$
$P= \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}}$
Tim max P ?
Bài 2 : Cho x,y,z > 0 và $x+y+z=1$
$P= \frac{x+y}{\sqrt{xy+z}} + \frac{y+z}{\sqrt{yz+x}} + \frac{x+z}{\sqrt{xz+y}}$
Tìm min P ?
Bài 1: Cách khác : Do điều kiện bài toán nên ta có thể đặt $(x,y,z)=(\tan A,\tan B, \tan C),A+B+C= \pi$
Khi đó $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2A}}=\cos A$
Do đó ta chỉ cần chứng minh $ \cos A+\cos B+\cos C\leqslant \frac{3}{2}$
Nhưng bất đẳng thức trên luôn đúng do
$\cos A+\cos B+\cos C\leqslant 3\cos (\frac{A+B+C}{3})=\frac{3}{2}$
Đẳng thức xảy ra khi $ x=y=z=\sqrt{3}$
Bài 2: Xét $\frac{x+y}{\sqrt{xy+z}}=\frac{x+y}{\sqrt{xy+z(x+y+z)}}=\frac{x+y}{\sqrt{(z+y)(x+z)}}$
$\Rightarrow \sum \frac{x+y}{\sqrt{xy+z}}=\sum \frac{x+y}{\sqrt{(z+y)(x+z)}}\geqslant 3$ theo AM-GM
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 22-11-2013 - 12:20